Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Buongiorno a tutti.
La questione è la seguente: sia \(\displaystyle G \) un gruppo, e sia \(\displaystyle H \) un suo sottogruppo; se \(\displaystyle G' \) è un gruppo e \(\displaystyle h:H \rightarrow G' \) è un omomorfismo di gruppi, è sempre possibile estendere \(\displaystyle h \) ad un omomorfismo \(\displaystyle h^* :G \rightarrow G' \) ? E se no, sotto quali condizioni del sottogruppo \(\displaystyle H \) e dell'omomorfismo \(\displaystyle h \)?
Dopo vi dico cosa c'entra tutto questo ...
Salve a tutti,
E' noto che non esiste l'insieme di tutti gli insiemi, dunque Set e' una categoria grande (o localmente piccola a seconda delle definizioni). Ora io mi chiedo perche' ad esempio le categorie Grp e Top sono anch'esse categorie grandi; perche' non esiste l'insieme di tutti i gruppi o di tutti gli spazi topologici? In generale come faccio a distinguere una classe da un insieme?
Salve a tutti,
Può sembrare banale la domanda, ma avrei bisogno di una delucidazione.
dove sta la differenza tra $A={x|P(x)}$ e ${x|P(x)}$?? Preciso che mi trovo in ZF.
Ringrazio anticipatamente.
Cordiali saluti
Ciao a tutti, ho un problema con questo esercizio:
Nell'insieme $R^2$ delle coppie ordinate di numeri reali è definita la seguente relazione $(a, b)R(c, d) \Leftrightarrow (a + b)^3 = (c + d)^3$. Si stabilisca se R è d'ordine, solo transitiva, d'equivalenza, solo antisimmetrica.
ecco il mio procedimento:
"la proprietà riflessiva è dimostrata in quanto per $(a+b)^3 in R^2$ e $(c+d)^3 in R^2$ è verificato che $(a+b)^3 = (a+b)^3$ e $(c+d)^3 = (c+d)^3$
è dimostrata anche la proprietà simmetrica poichè è vero che ...
Ciao a tutti, ho un nuovo problema con le strutture algebriche.
Traccia:
Nell'insieme $Z$ dei numeri interi relativi, si consideri l'operazione (binaria) interna $* : ZxZ \rightarrow Z$ definita ponendo, per ogni $a, b in Z, a*b = a + b + 2k$, ove $k in Z$. Si determini l'eventuale valore del parametro k per il quale l'elemento neutro della struttura algebrica $(Z,*)$ sia $6$
il punto è che trovo teoria da tutte le parti: libri, appunti e internet ma mai un metodo ...
Salve ragazzi ho questo quesito d'esame , su cui ho alcuni dubbi sulla risoluzione.
Allora ho che:
Si considerino gli anelli $A_1 = (ZZ_3[x])/(_(x^3+2+1))$ ed $A_2= ZZ_28$. E il loro prodotto diretto $A=A_1 X A_2$
a) Determinare l'ordine del gruppo U delle unità di A-
b) Dire se l'elemento $([x+1] , [5]_28) $ è invertibile in $A$
c) Determinare , in U, un elemento di periodo 6.
Svolgimento.
a) Ho notato che in $ZZ_28$ gli elementi invertibili sono proprio ...
buonasera a tutti
Ho una domanda riguardante le definizioni universali: per semplicità utilizzo il caso della definizione di gruppo libero
DEF. si dice GRUPPO LIBERO sull'insieme non vuoto \(\displaystyle S \) un gruppo \(\displaystyle G \) assieme ad una funzione \(\displaystyle f:S \rightarrow G \) tale che, comunque si prenda un gruppo \(\displaystyle G' \) e una funzione \(\displaystyle f':S \rightarrow G' \), esiste un unico omomorfismo di gruppi \(\displaystyle g:G \rightarrow G' \) ...
Ciao a tutti, mi trovo di fronte ad un esercizio di logica e non so come risolverlo.
L'esercizio è il seguente:
dimostrare se la seguente affermazione è vera:
$ A |=B hArr A^^C |= B ^^ C $
Un esercizio del genere:
$|=A rArr not A vv B -=B $
lo risolvo così: essendo A una tautologia, not A=0 quindi $not A vv B$ dipende totalmente da B quindi $-=B$
ma su quello sopra non so da dove partire.
Qualcuno potrebbe indicarmi come si risolvono questi esercizi?
Grazie in anticipo.
Ciao a tutti!
Ho un dubbio:
io ho il polinomio $f(z)=(z^{16}+z^{15}+...+z+1)^2-17z^{16}=0$ che so essere irriducibile in $\mathbb{Q}$ (l'ho dimostrato!). Applico la trasformazione $x=z+z^{-1}$, e ottengo il polinomio $h(x)=x^8+x^7-7x^6+15x^4+10x^3-10x^2-4x-1-\sqrt{17}=0$ che vive in $\mathbb{Q}(\sqrt{17})$. Posso dire che $h(x)$ è irriducibile in $\mathbb{Q}(\sqrt{17})$, altrimenti sarebbe riducibile in $\mathbb{Q}$ $f(z)$?
Io temo di no...però non riesco a trovare un controesempio.
Quello che posso dire è che se ho un polinomio ...
Sempre dal solito Hernstein riporto alcuni esercizi (a proposito se conoscete qualche libro con esercizi sui gruppi mettetemene al corrente)
1) Se $H$ è un sottogruppo di un gruppo $G$ tale che il prodotto di due laterali destri di $H$ in $G$ è ancora un laterale destro di $H$ in $G$, dimostrare che $H$ è normale in $G$.
2) Se $G$ è un gruppo e $H$ un ...
Dato $p(X)=X^7+2$ a coefficienti nel campo $QQ$.
Considerato $K=(QQ[X])/((P(X)))$ come sottocampo di $CC$ si stabilisca se contiene il numero complesso $i$. Come si fa? Devo semplicemente sostituire in $p(X)$ e dimostrare che non lo contiene o è sbagliato come ragionamento?
Data una funzione determinare,se esistono,le sue inverse destre e sinistre?
Sia f : N → N la funzione definita da
f(n) =
1) n/2 se n è pari;
2)[n/2] altrimenti
ho capito che la funzione è suriettiva e quindi ammette inverse sinistre ma non riesco a determinarle...help!! =(
buongiorno a tutti.
Partiamo dal seguente teorema:
TEOREMA: un anello commutativo A è un campo se e solo se non ha ideali non banali.
DIMOSTRAZIONE:
1) se A è un campo, allora è un corpo; sia I un ideale di A: se I è l'ideale nullo allora è banale, in caso contrario essendo A un corpo, esiste un elemento \(\displaystyle x \in I \) invertibile: allora per le proprietà degli ideali \(\displaystyle 1 \in I \) e dunque \(\displaystyle I=A \) : ne consegue che A non ha ideali non banali
2) se A ...
buongiorno a tutti
Nelle dispense di Algebra del mio professore c'è scritto che, dato l'anello \(\displaystyle \mathbb{K}[x] \) dei polinomi a coefficienti in un campo, condizione sufficiente e necessaria affinchè due polinomi \(\displaystyle a(x),b(x) \) ammettano radici comuni è che esistano due polinomi \(\displaystyle p(x),q(x) \) con \(\displaystyle deg(p)
Ciao a tutti, ho un problema con questo esercizio
La traccia dice:
In $(Z_11, +, *)$ si determini l'elemento $x = 5(3-2^-1)$
le risposte sono A) 4 ; B) 5 ; C) 6 ; D)7 .
Non so come devo procedere per risolverlo. Io faccio la tabella di Cayley in $Z_11$ ma poi non so come procedere. Qualcuno può aiutarmi svolgendolo e commentandolo?
Grazie in anticipo per le risposte!
Come posso dimostrare che il polinomio $ T^25 - T = 0 $ possiede come radici tutti gli elementi dell'estensione algebrica del campo $Z5$ per mezzo del polinomio irriducibile $X^2 + 2$.
Non ho idea di come iniziare so che per radice si intende un valore a tale che f(a)=0.
Grazie
Rega ho un esercizio esattamente studiare il gruppo degli automorfismi nel gruppo dei quaternioni $H_8$.
La mia idea è stata la seguente a priori sappiamo che $Aut(H_8)<S_8$ inoltre necessariamente sia $1$ che $-1$ vanno in se stessi perchè sono gli unici elementi di ordine $1$,$-1$ allora possiamo dedurne che $Aut(H_8)<S_6$ inoltre studiando dei possibili casi possiamo osservare che la definizone di morfismo viene ...
Sto studiando l'algoritmo di Pratt per il test di primalità, allora analizzando la complessità dell'algoritmo il mio libro dice:
Abbiamo che $T(n) <= 2 + k + \sum_{i=1}^k T(p_i)$
dove $p_i$ sono i fattori primi di n-1.
(T(n) sono gli steps totali dell'algoritmo)
Usando questo possiamo trovare un limite superiore per T(n).
E' facile vedere ricorsivamente che per esempio $L(n) = 4 log_2 n - 4$ è un limite superiore in quanto
$T(n)<= 2 + k + \sum_{i=1}^k L(p_i) = $..... Algebra algebra algebra ... $ < 4log_2 n - 4 = L(n) $
ora io mi ...
Ho questo esercizio :
Siano n ed m interi maggiori di uno. Data una coppia $(a,b) in ZxZ $ si consideri l'applicazione $f : Zn x Zm ->Znm$
def da $f_a,b$$( [x]_m , [y]_n) = [ax+by+1]_m*n$ .
Mi si chiede di verificare per quali $(a,b) in ZxZ $ l'applicazione risulta essere ben definita.
Sto incontrando serie difficoltà nella risoluzione di questo problema.
Ho pensato di considerare due casi. 1) n ed m coprimi
2) n ed m non coprimi.
Ho ragionato cosi ...
Forse mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua, ma non riesco a capire come risolvere questo esercizio:
si supponga che una operazione binaria $*$ su un insieme $X$ abbia unità e soddisfi all'identità $x*(y*z)=(x*z)*y$. Dimostrare che $*$ è associativa e commutativa.
Allora per quanto riguarda l'unità, che è l'elemento neutro, suppongo sia definito bilatero visto che non specifica nulla, quindi:
$EEe in X$ tale che $AAa in X$, ...
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