Insiemi di funzioni
Leggevo un capitolo del Mac lane/Birkhoff a proposito degli insiemi di funzioni, che definisce nel seguente modo:
sia [tex]f : X \rightarrow S[/tex] una funzione, allora si definisce l'insieme delle funzioni come [tex]S^X := \{f | f:X \rightarrow S\}[/tex].
E sin qui mi sembra semplice.
Continua con un esempio: sia l'insieme [tex]1=\{1\}[/tex], allora la funzione [tex]f : 1 \rightarrow S[/tex] è completamente determinata dal valore [tex]f(1) \in S[/tex] e ciascun elemento [tex]s \in S[/tex] determina una funzione siffatta. In altre parole, il porre [tex]f \mapsto f(1)[/tex] dà una bigezione [tex]b : S^1 \cong S[/tex], [tex]b(f)=f(1)[/tex].
Ora mi sono immaginato la seguente situazione (ho bisogno di un esempio):
ho l'insieme [tex]1=\{1\}[/tex] e l'insieme [tex]S=\{a,b,c\}[/tex], quindi la mia funzione [tex]f[/tex] può assumere solo uno dei seguenti valori (per definizione):
[tex]f(1)=a[/tex], [tex]f(1)=b[/tex], [tex]f(1)=c[/tex]
da cui il relativo insieme delle funzioni [tex]S^1 = \{\{a\},\{b\},\{c\}\}[/tex].
Ho capito bene sino a qui?
sia [tex]f : X \rightarrow S[/tex] una funzione, allora si definisce l'insieme delle funzioni come [tex]S^X := \{f | f:X \rightarrow S\}[/tex].
E sin qui mi sembra semplice.
Continua con un esempio: sia l'insieme [tex]1=\{1\}[/tex], allora la funzione [tex]f : 1 \rightarrow S[/tex] è completamente determinata dal valore [tex]f(1) \in S[/tex] e ciascun elemento [tex]s \in S[/tex] determina una funzione siffatta. In altre parole, il porre [tex]f \mapsto f(1)[/tex] dà una bigezione [tex]b : S^1 \cong S[/tex], [tex]b(f)=f(1)[/tex].
Ora mi sono immaginato la seguente situazione (ho bisogno di un esempio):
ho l'insieme [tex]1=\{1\}[/tex] e l'insieme [tex]S=\{a,b,c\}[/tex], quindi la mia funzione [tex]f[/tex] può assumere solo uno dei seguenti valori (per definizione):
[tex]f(1)=a[/tex], [tex]f(1)=b[/tex], [tex]f(1)=c[/tex]
da cui il relativo insieme delle funzioni [tex]S^1 = \{\{a\},\{b\},\{c\}\}[/tex].
Ho capito bene sino a qui?
Risposte
Up, please.
Salve GundamRX91,
Interessante, è la prima votla che affronto un argomento del genere; l'insieme $S^1$ è un insieme i cui elementi sono funzioni, che a sua volta sono sottoinsiemi impropri dell'insieme $1 xx S$ che soddisfano la proprietà di univocità; non vorrei peccare di interpretazione, ma nel tuo caso l'insieme $S^1$ è formato dai singoletti delle coppie ordinate dell'insieme $1 xx S$, ovvero $S^1={{(1,a)},{(1,b)},{(1,c)}}$. Concordi!?
Cordiali saluti
"GundamRX91":
Leggevo un capitolo del Mac lane/Birkhoff a proposito degli insiemi di funzioni, che definisce nel seguente modo:
sia [tex]f : X \rightarrow S[/tex] una funzione, allora si definisce l'insieme delle funzioni come [tex]S^X := \{f | f:X \rightarrow S\}[/tex].
E sin qui mi sembra semplice.
Continua con un esempio: sia l'insieme [tex]1=\{1\}[/tex], allora la funzione [tex]f : 1 \rightarrow S[/tex] è completamente determinata dal valore [tex]f(1) \in S[/tex] e ciascun elemento [tex]s \in S[/tex] determina una funzione siffatta. In altre parole, il porre [tex]f \mapsto f(1)[/tex] dà una bigezione [tex]b : S^1 \cong S[/tex], [tex]b(f)=f(1)[/tex].
Ora mi sono immaginato la seguente situazione (ho bisogno di un esempio):
ho l'insieme [tex]1=\{1\}[/tex] e l'insieme [tex]S=\{a,b,c\}[/tex], quindi la mia funzione [tex]f[/tex] può assumere solo uno dei seguenti valori (per definizione):
[tex]f(1)=a[/tex], [tex]f(1)=b[/tex], [tex]f(1)=c[/tex]
da cui il relativo insieme delle funzioni [tex]S^1 = \{\{a\},\{b\},\{c\}\}[/tex].
Ho capito bene sino a qui?
Interessante, è la prima votla che affronto un argomento del genere; l'insieme $S^1$ è un insieme i cui elementi sono funzioni, che a sua volta sono sottoinsiemi impropri dell'insieme $1 xx S$ che soddisfano la proprietà di univocità; non vorrei peccare di interpretazione, ma nel tuo caso l'insieme $S^1$ è formato dai singoletti delle coppie ordinate dell'insieme $1 xx S$, ovvero $S^1={{(1,a)},{(1,b)},{(1,c)}}$. Concordi!?
Cordiali saluti
Sono un idiota!!! Hai ragione, una funzione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano tra dominio e codominio, quindi il risultato è sempre una coppia ordinata!!!!!!!!!!
Grazie garnak
Grazie garnak
Salve GundamRX91,
almeno l'insieme $S^1$ è giusto quello trovato da me? Sai, non ho mai affrontato argomenti di questo tipo, mi piacerebbe una conferma?
Cordiali saluti
"GundamRX91":
Sono un idiota!!! Hai ragione, una funzione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano tra dominio e codominio, quindi il risultato è sempre una coppia ordinata!!!!!!!!!!
Grazie garnak
almeno l'insieme $S^1$ è giusto quello trovato da me? Sai, non ho mai affrontato argomenti di questo tipo, mi piacerebbe una conferma?
Cordiali saluti
"garnak.olegovitc":
Salve GundamRX91,
[quote="GundamRX91"]Sono un idiota!!! Hai ragione, una funzione è un sottoinsieme del prodotto cartesiano tra dominio e codominio, quindi il risultato è sempre una coppia ordinata!!!!!!!!!!
Grazie garnak
almeno l'insieme $S^1$ è giusto quello trovato da me? Sai, non ho mai affrontato argomenti di questo tipo, mi piacerebbe una conferma?
Cordiali saluti[/quote]
Credo proprio di si, perchè il testo poi recita: "Se [tex]X[/tex] è l'insieme [tex]2=\{1,2\}[/tex], una funzione [tex]f : 2 \rightarrow S[/tex] resta determinata da una coppia ordinata di elementi [tex]f(1),f(2)[/tex] di [tex]S[/tex]. Per cui [tex]f \mapsto (f(1),f(2))[/tex] è una bigezione dall'insieme di funzioni [tex]S^2[/tex] verso il prodotto cartesiano [tex]S \times S[/tex]".
Quindi avremmo che [tex]S^2 = \{\{(1,a),(2,a)\},\{(1,a),(2,b)\},\{(1,a),(2,c)\},\{(1,b),(2,a)\},[/tex]
[tex],\{(1,b),(2,b)\},\{(1,b),(2,c)\},\{(1,c),(2,a)\},\{(1,c),(2,b)\},\{(1,c),(2,c)\}\}[/tex].
E' corretto?
[tex],\{(1,b),(2,b)\},\{(1,b),(2,c)\},\{(1,c),(2,a)\},\{(1,c),(2,b)\},\{(1,c),(2,c)\}\}[/tex].
E' corretto?
Salve GundamRX91,
i calcoli mi coincindono! Buon per me! Ho imparato un altra cosa... Però il fatto della bigezione mi sebra quasi ovvio! Chissà se si potrebbe invece dimostrare! 
, sempre se la mia domanda è lecita! 
Cordiali saluti
"GundamRX91":
Quindi avremmo che [tex]S^2 = \{\{(1,a),(2,a)\},\{(1,a),(2,b)\},\{(1,a),(2,c)\},\{(1,b),(2,a)\},[/tex]
[tex],\{(1,b),(2,b)\},\{(1,b),(2,c)\},\{(1,c),(2,a)\},\{(1,c),(2,b)\},\{(1,c),(2,c)\}\}[/tex].
E' corretto?
i calcoli mi coincindono!
Buon per me! Ho imparato un altra cosa... Però il fatto della bigezione mi sebra quasi ovvio! Chissà se si potrebbe invece dimostrare! , sempre se la mia domanda è lecita! Cordiali saluti
in particolare vorrei ricordare un insieme di funzioni molto importante.
L'insieme $S^s={f|f: S->S ^^$f è bigettiva$}$ tale insieme rappresenta l'insieme delle bigezioni di $S$ in se. E se su $S^S$ denotiamo l'operazione $°$ composizioni di applicazioni che tutti conosciamo.
$(S^S,°)$ è un gruppo non abeliano (prove it!)
e se consideriamo $S={1,2,3,...,n}$ ritroviamo il nostro simpatico gruppo simmetrico che sappiamo essere abeliano $<=> n<=2$
ciao! scusa se non c'entrava molto
L'insieme $S^s={f|f: S->S ^^$f è bigettiva$}$ tale insieme rappresenta l'insieme delle bigezioni di $S$ in se. E se su $S^S$ denotiamo l'operazione $°$ composizioni di applicazioni che tutti conosciamo.
$(S^S,°)$ è un gruppo non abeliano (prove it!)
e se consideriamo $S={1,2,3,...,n}$ ritroviamo il nostro simpatico gruppo simmetrico che sappiamo essere abeliano $<=> n<=2$
ciao! scusa se non c'entrava molto
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