$S_n$ - Generatori e varie proprietà
Ragazzi, ho un dubbio atroce.
Sui miei appunti non c'è nulla a riguardo. (oppure so troppo fesso io a fare queste domande così sciocche!!)
So che ogni permutazione si scrive nel prodotto dei suoi cicli disgiunti e che ogni ciclo si può scrivere in termini di scambi, e che quindi ogni permutazione può essere espressa in termini di trasposizioni.
Ma questo mi basta per affermare che a partire dagli scambi posso generare qualsiasi permutazione di $S_n$?
Questo mi basta per dire le trasposizioni generano $S_n$?
Sui miei appunti non c'è nulla a riguardo. (oppure so troppo fesso io a fare queste domande così sciocche!!)
So che ogni permutazione si scrive nel prodotto dei suoi cicli disgiunti e che ogni ciclo si può scrivere in termini di scambi, e che quindi ogni permutazione può essere espressa in termini di trasposizioni.
Ma questo mi basta per affermare che a partire dagli scambi posso generare qualsiasi permutazione di $S_n$?
Questo mi basta per dire le trasposizioni generano $S_n$?
Risposte
Sì certo.
grazie martino!!!
Salve , altro piccolo dubbio.
Il testo mi dice di dimostrare che $(1,2,3,....,n)^(-1)=(n,n-1,n-2,.....,1)$
intuitivamente questa cosa l'ho sempre data per "intuitiva", componendo i cicli mi sono sempre reso conto che è più che vera. Vorrei ora però formalizzarne una dimostrazione. Spero possiate correggermi nei punti un po "bruttini".
Allora, quello che dobbiamo dimostrare è che $(1,2,3,....,n)(n,n-1,n-2,.....,1)=id=(n,n-1,n-2,.....,1)(1,2,...,n)$
Ho pensato di agire così.
Consideriamo $i in {1,2,3,....,n}$
e denotiamo con $\sigma=(1,2,...,n)$ e $\tau=(n,n-1,n-2,....,1)$
Si nota facilmente che $AA i \sigma(i)=i+1$
analogamente $AA i \tau(i)=i-1$
consideriamo il prodotto di $\sigma$ per $\tau$. (e successivamente il prodotto di $\tau\sigma$
Si ha che $AA i$
$\sigma\tau(i)=\sigma(i-1)=i-1+1=i$ e quindi $\sigma\tau=id$
Analogamente
$\tau\sigma(i)=\tau(i+1)=i+1-1=i$ e dunque $\tau\sigma=id$
pertanto $\tau\sigma=id=\sigma\tau$ dunque $\sigma^(-1)=\tau$.
che ne dite?
va bene così?
Il testo mi dice di dimostrare che $(1,2,3,....,n)^(-1)=(n,n-1,n-2,.....,1)$
intuitivamente questa cosa l'ho sempre data per "intuitiva", componendo i cicli mi sono sempre reso conto che è più che vera. Vorrei ora però formalizzarne una dimostrazione. Spero possiate correggermi nei punti un po "bruttini".
Allora, quello che dobbiamo dimostrare è che $(1,2,3,....,n)(n,n-1,n-2,.....,1)=id=(n,n-1,n-2,.....,1)(1,2,...,n)$
Ho pensato di agire così.
Consideriamo $i in {1,2,3,....,n}$
e denotiamo con $\sigma=(1,2,...,n)$ e $\tau=(n,n-1,n-2,....,1)$
Si nota facilmente che $AA i \sigma(i)=i+1$
analogamente $AA i \tau(i)=i-1$
consideriamo il prodotto di $\sigma$ per $\tau$. (e successivamente il prodotto di $\tau\sigma$
Si ha che $AA i$
$\sigma\tau(i)=\sigma(i-1)=i-1+1=i$ e quindi $\sigma\tau=id$
Analogamente
$\tau\sigma(i)=\tau(i+1)=i+1-1=i$ e dunque $\tau\sigma=id$
pertanto $\tau\sigma=id=\sigma\tau$ dunque $\sigma^(-1)=\tau$.
che ne dite?
va bene così?
Sì va bene, ammessa la cosa ovvia che le somme che fai sono intese modulo [tex]n[/tex].
"Martino":
Sì va bene, ammessa la cosa ovvia che le somme che fai sono intese modulo [tex]n[/tex].
Era sotto-inteso XD
grazie mille Martino
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