Numeri primi in Z
Ho trovato una definizione di numeri indecomponibili e primi in Z che mi lascia un po' perplesso. "Nell' anello degli interi le due nozioni seguenti sono equivalenti: un elemento $i\in Z$ si dice indecomponibile se quando risulta i = xy allora uno dei due fattori x oppure y è unitario (cioè, nel caso di Z, vale $\pm$1). Un elemento p si dice primo se tutte le volte che divide un prodotto xy allora divide almeno uno dei fattori.
Ora, ad esempio $450=30\cdot 45$: risulterebbe che sia 15 che 45, secondo questa definizione, sono primi, ma anche 2,6, e qualsiasi altro divisore. Sicuramente sbaglio ad interpretare la definizione, riuscite ad aiutarmi? Grazie
Ora, ad esempio $450=30\cdot 45$: risulterebbe che sia 15 che 45, secondo questa definizione, sono primi, ma anche 2,6, e qualsiasi altro divisore. Sicuramente sbaglio ad interpretare la definizione, riuscite ad aiutarmi? Grazie
Risposte
Vediamo se ci riesco....
Un intero [tex]p \in \mathbb{Z}[/tex] è primo se e solo se è divisibile per [tex]\pm 1[/tex] o è divisibile per [tex]\pm p[/tex], cioè se stesso:
[tex]1|p \Rightarrow \exists a \in \mathbb{Z}[/tex] tale che [tex]p=a \cdot 1 \Rightarrow a=p[/tex]
[tex]p|p \Rightarrow \exists a \in \mathbb{Z}[/tex] tale che [tex]p=a \cdot p \Rightarrow a=1[/tex]
Lemma di Euclide: se [tex]p | ab \land p \not| a \Rightarrow p|b[/tex].
Se [tex]p[/tex] non divide [tex]a[/tex] allora vuol dire che non hanno fattori in comune, ossia sono coprimi: [tex](p,a)=1[/tex], e per Bézout sappiamo che esistono due interi [tex]r,s \in \mathbb{Z}[/tex] tali che [tex]pr+as=1[/tex].
Per ipotesi [tex]p|ab \Rightarrow \exists t \in \mathbb{Z}[/tex] tale che [tex]ab=pt[/tex]. Ora se moltiplichiamo per [tex]b[/tex] la [tex]pr+as=1[/tex] otteniamo [tex]prb+abs=b[/tex] e sostituendo [tex]ab=pt[/tex] otteniamo [tex]prb+pts=b[/tex]. Raccogliamo [tex]p[/tex]: [tex]p(rb+ts)=b[/tex] da cui la tesi che [tex]p|b[/tex].
"aram":
Ho trovato una definizione di numeri indecomponibili e primi in Z che mi lascia un po' perplesso. "Nell' anello degli interi le due nozioni seguenti sono equivalenti: un elemento $i\in Z$ si dice indecomponibile se quando risulta i = xy allora uno dei due fattori x oppure y è unitario (cioè, nel caso di Z, vale $\pm$1).
Un intero [tex]p \in \mathbb{Z}[/tex] è primo se e solo se è divisibile per [tex]\pm 1[/tex] o è divisibile per [tex]\pm p[/tex], cioè se stesso:
[tex]1|p \Rightarrow \exists a \in \mathbb{Z}[/tex] tale che [tex]p=a \cdot 1 \Rightarrow a=p[/tex]
[tex]p|p \Rightarrow \exists a \in \mathbb{Z}[/tex] tale che [tex]p=a \cdot p \Rightarrow a=1[/tex]
"aram":
Un elemento p si dice primo se tutte le volte che divide un prodotto xy allora divide almeno uno dei fattori.
Lemma di Euclide: se [tex]p | ab \land p \not| a \Rightarrow p|b[/tex].
Se [tex]p[/tex] non divide [tex]a[/tex] allora vuol dire che non hanno fattori in comune, ossia sono coprimi: [tex](p,a)=1[/tex], e per Bézout sappiamo che esistono due interi [tex]r,s \in \mathbb{Z}[/tex] tali che [tex]pr+as=1[/tex].
Per ipotesi [tex]p|ab \Rightarrow \exists t \in \mathbb{Z}[/tex] tale che [tex]ab=pt[/tex]. Ora se moltiplichiamo per [tex]b[/tex] la [tex]pr+as=1[/tex] otteniamo [tex]prb+abs=b[/tex] e sostituendo [tex]ab=pt[/tex] otteniamo [tex]prb+pts=b[/tex]. Raccogliamo [tex]p[/tex]: [tex]p(rb+ts)=b[/tex] da cui la tesi che [tex]p|b[/tex].
"aram":
Ora, ad esempio $450=30\cdot 45$: risulterebbe che sia 15 che 45, secondo questa definizione, sono primi, ma anche 2,6, e qualsiasi altro divisore. Sicuramente sbaglio ad interpretare la definizione, riuscite ad aiutarmi? Grazie
quindi dici che la definizione che ho scritto io di numeri primi sia sbagliata? perchè tu hai preso come definizione
Un intero p$\in$Z è primo se e solo se è divisibile per $\pm$1 o è divisibile per $\pm$p , cioè se stesso
No, no, ho solo riscritto in forma un pò differente, ma del tutto equivalente, quanto hai riportato con la speranza che ti fosse più chiaro... ma mi sembra di capire di non essere riuscito nell'intento, o sbaglio?
Forse non ho capito bene il problema. Hai dubbi sulla definizione di primalità?
Nella definizione la parte importante è "tutte le volte".
Infatti $15$ non è primo perché divide $30=3*10$ ma non divide alcuno dei due fattori.
Nella definizione la parte importante è "tutte le volte".
Infatti $15$ non è primo perché divide $30=3*10$ ma non divide alcuno dei due fattori.
Scusa,
allora
1)Numero irriducibile :
$ p,a,b in ZZ$
p irriducibile se
ogni qualvoltà
$p=ab =>$ $a$ OPPURE $b$ è invertibile.
2)Numero primo :
p è primo, ogni qualvolta
$p|a*b => p|a$ oppure $p|b$.
3) Altra def :
p è primo se i suoi unici divisori sono $1,-1,p,-p$
Si dimostra che
1),2),3) sono equivalenti. (4)
Da cui, in $ZZ$ , per la 4), puoi benissimo definire p - primo con la tre.
allora
1)Numero irriducibile :
$ p,a,b in ZZ$
p irriducibile se
ogni qualvoltà
$p=ab =>$ $a$ OPPURE $b$ è invertibile.
2)Numero primo :
p è primo, ogni qualvolta
$p|a*b => p|a$ oppure $p|b$.
3) Altra def :
p è primo se i suoi unici divisori sono $1,-1,p,-p$
Si dimostra che
1),2),3) sono equivalenti. (4)
Da cui, in $ZZ$ , per la 4), puoi benissimo definire p - primo con la tre.
1) 2) 3) Non sono affatto equivalenti. Lo sono in $ZZ$ che è un $PID$ (e quindi $UFD$). Altrimenti le nozioni son distinte.
"mistake89":Credo che Kashaman stesse parlando specificamente di [tex]\mathbb{Z}[/tex].
1) 2) 3) Non sono affatto equivalenti. Lo sono in $ZZ$ che è un $PID$ (e quindi $UFD$). Altrimenti le nozioni son distinte.
Ah, allora avevo frainteso. Scusate.
Ma con questo caldo -e fisica matematica- capita
Ma con questo caldo -e fisica matematica- capita
Si Mistake 
parlavo di $ZZ$, non preoccuparti.
Mi hai incuriosito, cosa si intende per $PID$ e per $UFD$ ? (sono al primo anno, di algebra ho fatto pochino , però mi interessa sta cosa. Se è possibile spiegarla con termini "semplici" , ti prego di farlo, oppure attenderò il momento per gli anni venturi :p
parlavo di $ZZ$, non preoccuparti.Mi hai incuriosito, cosa si intende per $PID$ e per $UFD$ ? (sono al primo anno, di algebra ho fatto pochino
, però mi interessa sta cosa. Se è possibile spiegarla con termini "semplici" , ti prego di farlo, oppure attenderò il momento per gli anni venturi :p
Un UFD è un dominio a fattorizzazione unica: ovvero un dominio di integrita nel quale ogni elemento non nullo e non invertibile si può decomporre in modo unico come prodotto di fattori irriducibili.
Il PID è invece un dominio nel quale ogni ideale è principale, ovvero generato da un unico elemento.
Per ideale di una anello $A$, si intende un sottogruppo addittivo di $(A,+)$ t.c $aI \subset I$ per ogni $a in A$.
Ovviamente queste son solamente le definizioni. Per tutte le proprietà ti consiglio di leggerti per bene un buon testo di algebra se non vuoi aspettare di studiarle nei corsi di algebra.
Il PID è invece un dominio nel quale ogni ideale è principale, ovvero generato da un unico elemento.
Per ideale di una anello $A$, si intende un sottogruppo addittivo di $(A,+)$ t.c $aI \subset I$ per ogni $a in A$.
Ovviamente queste son solamente le definizioni. Per tutte le proprietà ti consiglio di leggerti per bene un buon testo di algebra se non vuoi aspettare di studiarle nei corsi di algebra.
Piccola domanda: in un dominio di integrità generico( non a fattorizzazione unica) indecomponibile implica primo? O viceversa?
N.B.: per indecomponibile si intende un elemento $i$ tale che se $i=xy$ allora o $x$ è associato ad $i$ o $y$ è associato ad $i$. Per primo si intende un elemento $i$ tale che se $i|xy$ allora o $i|x$ o $i|y$.
So che in un UFD(dominio a fattorizzazione unica), ad esempio $Z$, la nozione di primo coincide con quella di indecomponibile, ma in generale, qual è l'implicazione delle che vale sempre?
Grazie
N.B.: per indecomponibile si intende un elemento $i$ tale che se $i=xy$ allora o $x$ è associato ad $i$ o $y$ è associato ad $i$. Per primo si intende un elemento $i$ tale che se $i|xy$ allora o $i|x$ o $i|y$.
So che in un UFD(dominio a fattorizzazione unica), ad esempio $Z$, la nozione di primo coincide con quella di indecomponibile, ma in generale, qual è l'implicazione delle che vale sempre?
Grazie
In Z, "indecomponibile implica primo" mi sembra piuttosto semplice da dimostrare: se $i=xy$ allora, per definizione di indecomponibile o $x=\pm 1$ o $y=\pm 1$ quindi o $i=\pm y$ o $i=\pm x$. Allora Se $i|xy$ ne segue che, siccome $i=\pm y \rightarrow i|y$ oppure, siccome $i=\pm x$ ne segue $i|x$, vale a dire che $i$ è primo.
L'implicazione opposta (primo implica indecomponibile)mi sembra molto meno immediata! Qualcuno ci riesce a dimostrarla?
L'implicazione opposta (primo implica indecomponibile)mi sembra molto meno immediata! Qualcuno ci riesce a dimostrarla?
L'implicazione che vale sempre è "primo implica indecomponibile".
Infatti se [tex]x[/tex] è primo e [tex]x=ab[/tex] allora siccome [tex]x[/tex] divide [tex]x[/tex] e [tex]x=ab[/tex], [tex]x[/tex] divide uno tra [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex]...
Infatti se [tex]x[/tex] è primo e [tex]x=ab[/tex] allora siccome [tex]x[/tex] divide [tex]x[/tex] e [tex]x=ab[/tex], [tex]x[/tex] divide uno tra [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex]...
provo a continuare, poi spero mi confermerai se scrivo cose più o meno sensate 
Dato che $x$ è primo e $x=ab$, mettiamo che $x|a$, allora, in questo caso, $\exists k \in A$ tale che $a=xk$. Avevamo che $x=ab$ allora $x=ab=xkb$, allora $x-xkb=0 \Rightarrow x(1-kb)=0$ e siccome $x\ne 0$ e siamo in un dominio, avremo $1-kb=0 \Rightarrow kb=1 \Rightarrow b$ è unità $\Rightarrow a$ è associato ad $x$. Analogamente, se si aveva $x|b$ avremmo concluso $a$ unità $Rightarrow b$ è associato ad $x$, quindi $x$ risulta essere indecomponibile.
Dato che $x$ è primo e $x=ab$, mettiamo che $x|a$, allora, in questo caso, $\exists k \in A$ tale che $a=xk$. Avevamo che $x=ab$ allora $x=ab=xkb$, allora $x-xkb=0 \Rightarrow x(1-kb)=0$ e siccome $x\ne 0$ e siamo in un dominio, avremo $1-kb=0 \Rightarrow kb=1 \Rightarrow b$ è unità $\Rightarrow a$ è associato ad $x$. Analogamente, se si aveva $x|b$ avremmo concluso $a$ unità $Rightarrow b$ è associato ad $x$, quindi $x$ risulta essere indecomponibile.
Sì giusto.
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