Numero l-cicli $S_n$

[Kashaman]

Salve ragazzi ho questa proposizione.

Sia $l$ un intero maggiore di $1$ e non maggiore di $n$ , in $S_n$ vi sono esattamente
$1/l*(n!)/((n-l)!)$
cicli di lunghezza $l$


io ho provato a semplificare la dimostrazione ragionando così :
Dato ${a_1,a_2,....,a_l} sube {1,2,3,...,n}$.
I cicli che posso formare con i numeri $a_1,a_2,....,a_l$ sono esattamente $l!$, Si può supporre senza ledere la generalità che i cicli comincino tutti con lo stesso elemento , questi coincidono permutazione di $(l-1)!$ elementi.
Ora si ha che gli $l$ numeri possono essere scelti in ${1,2,3,....,n}$ in $((n),(l))$ modi distinti.
Dunque ho esattamente $((n),(l))*(r-1)!$$=1/l*(n!)/((n-l)!)$ $l-cicli $ distinti in $S_n$

ragazzi, non mi convince molto la parte in neretto... perché posso supporre senza ledere le generalità che i cicli comincino tutti con lo stesso elemento?
grazie.

[perplesso1]

Perchè se tu hai il ciclo $(a_1a_2...a_l)$ e vuoi farlo cominciare per $a_i$ ti basta far slittare tutti gli elementi di $i$ posizioni $(a_ia_{i+1}...a_la_1a_2...a_{i-1})$ tanto è sempre lo stesso ciclo.