Esercizio di algebra.
Giorno a tutti, mi sto esercitando per l'esame di algebra.Tra i tanti esercizi che ho fatto c'è questo in particolare che non riesco a trovare alcuna soluzione.
Sia $G$ un gruppo e $N$ un sottogruppo di $G$, provare:
1)Se $N$ è normale in $G$ allora $C(N)$ è normale in $G$ (ove $C(N)$= { $x \in G |$ $xn=nx$ $\forall n \in N}$).
2)Se $N$ è anche ciclico allora $G$/$C(N)$ è abeliano.
Ci sono altri punti ma io sono bloccato al secondo.
Il primo sono riuscito a risolverlo(?) così:
Essendo 1) $\Leftrightarrow$ $gC(N)g^{-1}=C(N)$ $\forall$ $g \in G$
Considero:
$gcg^{-1}$ con $c \in C(N)$ allora per qualunque $n \in N$
$gcg^{-1}n=gc(g^{-1}ng)g^{-1}$ sicchè per la normalità di $N$ si ottiene
$g(g^{-1}ng)cg^{-1}=ngcg^{-1}$ $\Rightarrow$ $gcg^{-1}$ $\in$ $C(N)$.
Per il punto 2) non ho proprio idea, l'unica cosa che sono riuscito a dire è che per l'abenialità di $N$ allora $N\leqC(N)$ e inoltre ho cercato di dimostrare, senza successo, che per qualune coppia $a$,$b$ $\in$ $G$ l'elemento $aba^{-1}b^{-1}$ $\in C(N)$ perché seguirebbe che $abC(N)=baC(N)$.
Come posso fare?Grazie a tutti quelli che mi aiuteranno.
Sia $G$ un gruppo e $N$ un sottogruppo di $G$, provare:
1)Se $N$ è normale in $G$ allora $C(N)$ è normale in $G$ (ove $C(N)$= { $x \in G |$ $xn=nx$ $\forall n \in N}$).
2)Se $N$ è anche ciclico allora $G$/$C(N)$ è abeliano.
Ci sono altri punti ma io sono bloccato al secondo.
Il primo sono riuscito a risolverlo(?) così:
Essendo 1) $\Leftrightarrow$ $gC(N)g^{-1}=C(N)$ $\forall$ $g \in G$
Considero:
$gcg^{-1}$ con $c \in C(N)$ allora per qualunque $n \in N$
$gcg^{-1}n=gc(g^{-1}ng)g^{-1}$ sicchè per la normalità di $N$ si ottiene
$g(g^{-1}ng)cg^{-1}=ngcg^{-1}$ $\Rightarrow$ $gcg^{-1}$ $\in$ $C(N)$.
Per il punto 2) non ho proprio idea, l'unica cosa che sono riuscito a dire è che per l'abenialità di $N$ allora $N\leqC(N)$ e inoltre ho cercato di dimostrare, senza successo, che per qualune coppia $a$,$b$ $\in$ $G$ l'elemento $aba^{-1}b^{-1}$ $\in C(N)$ perché seguirebbe che $abC(N)=baC(N)$.
Come posso fare?Grazie a tutti quelli che mi aiuteranno.
Risposte
Se $N$ e' ciclico, $Aut(N)$ e' abeliano. L'azione di coniugio
induce un omomorfismo iniettivo $G$/$C(N)\rightarrow Aut(N)$
e quindi anche $G$/$C(N)$ e' abeliano.
induce un omomorfismo iniettivo $G$/$C(N)\rightarrow Aut(N)$
e quindi anche $G$/$C(N)$ e' abeliano.
Grazie della delucidazione, non sapevo che c'era questa relazione tra la ciclicità di un gruppo ed i suoi automorfismi.
Come faccio a dimostrare che se $G$ è ciclico allora $Aut(G)$ è abeliano?Qualche suggerimento?
Come faccio a dimostrare che se $G$ è ciclico allora $Aut(G)$ è abeliano?Qualche suggerimento?
Ci provo, anche se non sono particolarmente preparato su tale argomento :p
Noi abbiamo che $Aut(G)$ è l'insieme degli automorfismi di $G$ in se. In altre parole è l'insieme degli isomorfismi di $G$ in se, giusto?
Per ipotesi hai che $G$ è ciclico,e di conseguenza $AA x,y in G : x*y=y*x$. Ora quello che dobbiamo mostrare è che prese due $f,g$ in $Aut(G)$ si ha che $f*g=g*f$ con $*$ operazione definita su $Aut(G)$
Bene.
Consideriamo $f,g in Aut(G)$ e $x,y in G$ e siano $f(x)=x' in G ^^ g(y)=y' in G$
si ha che $f(x)g(y)=x'*y'=${perché * è commutativo in $G$ }=$ y'*x'=f(y)*f(x)$ ne segue allora che $f(x)f(y)=f(y)f(x)$
e data la generalità di $x,y$ $f*g=g*f$ quindi $Aut(G)$ abeliano
Ti convince?
Noi abbiamo che $Aut(G)$ è l'insieme degli automorfismi di $G$ in se. In altre parole è l'insieme degli isomorfismi di $G$ in se, giusto?
Per ipotesi hai che $G$ è ciclico,e di conseguenza $AA x,y in G : x*y=y*x$. Ora quello che dobbiamo mostrare è che prese due $f,g$ in $Aut(G)$ si ha che $f*g=g*f$ con $*$ operazione definita su $Aut(G)$
Bene.
Consideriamo $f,g in Aut(G)$ e $x,y in G$ e siano $f(x)=x' in G ^^ g(y)=y' in G$
si ha che $f(x)g(y)=x'*y'=${perché * è commutativo in $G$ }=$ y'*x'=f(y)*f(x)$ ne segue allora che $f(x)f(y)=f(y)f(x)$
e data la generalità di $x,y$ $f*g=g*f$ quindi $Aut(G)$ abeliano
Ti convince?
@Kashaman Non e' corretto questo. Automorfismi vanno composti: $(f * g)(x)=f(g(x))$.
Mi sembra anche che usi solo il fatto che il gruppo e' abeliano. Ma non e' vero che per
ogni gruppo abeliano $G$ il gruppo $Aut(G)$ e' anche abeliano.
Mi sembra anche che usi solo il fatto che il gruppo e' abeliano. Ma non e' vero che per
ogni gruppo abeliano $G$ il gruppo $Aut(G)$ e' anche abeliano.
Nella mia incapacità riesco ad affermare solo questo :
Siano $f$, $g$ $\in$ $Aut(G)$ e consideriamo le applicazioni:
$g\circ f$ e $f\circg$ esse sono la stessa applicazione se e solo se hanno stesso dominio, stesso codominio e stessa immagine poiché le prime due sono ovvie basta dimostrare che:
$\forall x \in G$ $g(f(x))=f(g(x))$ ma $G$ è ciclico quindi detto a il suo generatore(di solito indico $G=G(a)$) si ha che:
$f(a^p)=a^q$
$g(a^u)=a^v$
non riesco a proseguire o meglio potrei ma andrei a chiudermi in ragionamenti artificiosi che non portano a nulla.
Altro quesito:
se $o(G)=n$ quant'è $o(Aut(G))=n$?
in un primo momento avrei detto $n!$ ma è assurdo infatti questo vorrebbe dire che ogni biezione di $G$ in sè sarebbe un isomorfismo!
Any clues?
Siano $f$, $g$ $\in$ $Aut(G)$ e consideriamo le applicazioni:
$g\circ f$ e $f\circg$ esse sono la stessa applicazione se e solo se hanno stesso dominio, stesso codominio e stessa immagine poiché le prime due sono ovvie basta dimostrare che:
$\forall x \in G$ $g(f(x))=f(g(x))$ ma $G$ è ciclico quindi detto a il suo generatore(di solito indico $G=G(a)$) si ha che:
$f(a^p)=a^q$
$g(a^u)=a^v$
non riesco a proseguire o meglio potrei ma andrei a chiudermi in ragionamenti artificiosi che non portano a nulla.
Altro quesito:
se $o(G)=n$ quant'è $o(Aut(G))=n$?
in un primo momento avrei detto $n!$ ma è assurdo infatti questo vorrebbe dire che ogni biezione di $G$ in sè sarebbe un isomorfismo!
Any clues?
"Draco0":E' la strada giusta, non capisco perché non riesci a proseguire: [tex]f,g[/tex] sono univocamente individuati da [tex]f(a),g(a)[/tex] e queste sono per forza potenze di [tex]a[/tex], quindi quando componi...
$G$ è ciclico quindi detto a il suo generatore(di solito indico $G=G(a)$) si ha che:
$f(a^p)=a^q$
$g(a^u)=a^v$
non riesco a proseguire o meglio potrei ma andrei a chiudermi in ragionamenti artificiosi che non portano a nulla.
Per la cronaca, [tex]\text{Aut}(C_n) \cong U(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})[/tex], il gruppo degli elementi invertibili dell'anello commutativo [tex]\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/tex].
Altro quesito:Vedi qui, alla voce "Automorfismi di gruppi".
se $o(G)=n$ quant'è $o(Aut(G))=n$?
in un primo momento avrei detto $n!$ ma è assurdo infatti questo vorrebbe dire che ogni biezione di $G$ in sè sarebbe un isomorfismo!
Any clues?
E' la strada giusta, non capisco perché non riesci a proseguire: f,g sono univocamente individuati da f(a),g(a) e queste sono per forza potenze di a , quindi quando componi...
Ok ci dovrei essere:
Supponiamo che $f(a)=a^k$ e $g(a)=a^h$ allora si ha che
$g(f(a))=g(a^k)=a^{k+h}$
$f(g(a))=f(a^h)=a^{h+k}$ e quindi
$g(f(a))=f(g(a))$ $ \Rightarrow $ $g(f(a^i))=f(g(a^i))$ che dimostra che le immagini delle due funzioni sono uguali e per la generalità di $f$ e $g$ segue che $Aut(G)$ è abeliano.
Corretto?
Per la cronaca, Aut(Cn)≅U(Z/nZ) , il gruppo degli elementi invertibili dell'anello commutativo Z/nZ .
Chi è $C_n$?
Comunque grazie a tutti per il prezioso aiuto!
Corretto. [tex]C_n[/tex] è il gruppo ciclico di ordine [tex]n[/tex]. Prego 
Quindi in definitiva $o(Aut(C_n))=\varphi(n)$ dove $\varphi$ la funzione di eulero.Ok dovrei essere in grado di fare gli altri punti dell'esercizio.
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