Elementi primi e ideali massimali nei PID

[alicinat]

Ciao, sono nuova in questo forum, vi pongo una domanda di algebra.
E' vero che nei PID(dominii ad ideali principali) gli elementi primi generano ideali massimali e vale anche il viceversa, cioè che tutti gli ideali massimali sono generati da elementi primi? Riuscireste a fornirmi una dimostrazione?
Riflettendo mi viene da dire: se A anello commutativo, $I=(a)$ è suo ideale massimale, allora non esistono altri ideali di A che lo contengono, allora $\forall a \in A$, $\forall i \in I$, $ai \in I$, ma come faccio a dire che $(a)$ è primo, cioè che se $bc \in I \rightarrow b\in I$ o $c \in I$, quindi che a è primo? Sono un po' confusa...inoltre, mi mette in difficoltà anche l'altro verso dell'implicazione..

[Draco0]

Non so se può essere d'aiuto ma ti ricordo che ogni PID è anche un UFD(dominio a fattorizazione unica)prova a trarre qualche conclusione,se non l'hai già fatto.

EDIT: mi sono reso conto solo ora che questa domanda è stata già fatta nel topic chiamato "proprietà P.I.D." ed
ha avuto una risposta.

[Key918]

Sì, è vero che nei PID gli ideali massimale $\leftrightarrow$ elemento generatore primo.

Per la dimostrazione puoi ricordare una serie di proposizioni ossia:

In ogni anello commutativo ogni ideale massimale è primo; in un dominio d'integrità gli ideali principali primi $(a)\ne0$ sono generati da elementi primi. In un UFD primi ed irriducibili coincidono ed infine in un dominio ad ideali principali ogni ideale massimale $(a)\ne0$ è generato da un irriducibile; ricordando che un P.I.D. è un UFD hai la tesi.