Esame scritto - algebra 1

[Kashaman]

salve ragazzi, come da titolo proprio ieri ho sostenuto l'esame scritto di algebra 1 presso la mia facoltà.
Vi pongo in esame la mia risoluzione, uno perché ho paura di aver fatto un macello, secondo sono in depressione post - esame (tipo post partum ) , terzo perché voglio confrontarmi con voi per la risoluzione, visto che fino a domani mattina, quando usciranno i risultati, non so aspettare XD

Arriviamo al primo :
Si consideri in $S_16$
$\alpha=(1,7,2,13)(3, 14, 6, 10, 4)(8, 12)(5,11)(9,16,15)$
punto a) Determinare tutti gli elementi
di $H={\sigma in <\alpha> | \sigma^2(1)=2 ^^ \sigma^3(3)=4}$

Allora, saltando un poco la parte calcolosa ho ragionato così.
prima di tutto, notando che la struttura ciclica di $\alpha$ è ${5,4,3,2,2}$ ho trovato che $o\(alpha)=m.c.m(5,4,3,2,2)=60$
Ho considerato due insiemi[
$H_1={\sigma in <\alpha> | \sigma^2(1)=2}$ e ho trovato che $H_1={\alpha^i in <\alpha>| $$i$ è dispari$}$
e $H_2={\sigma in <\alpha> | \sigma^3(3)=4}$ e ho trovato che
$H_2={\alpha^i in <\alpha> | i = 5k+3 , k in ZZ}={\alpha^3,\alpha^8,\alpha^13,\alpha^18, \alpha^23,\alpha^28,\alpha^33,\alpha^38,\alpha^43,\alpha^48,\alpha^53,\alpha^58}$
e che quindi $H=H_1nnH_2={\alpha^3,\alpha^13,\alpha^23,\alpha^33,\alpha^43,\alpha^53}$

punto b) Determinare un sottogruppo $K$ di $<\alpha>$ avente ordine 3 e provare che ogni sottogruppo $Q$ di $S_16$ contente $H uu K$ contiene anche $<\alpha>$

prima di tutto ho considerato l'elemento
$\tau=\alpha^20=((9,15,9) in <\alpha>$
ho notato che $o\tau=3$ e quindi genera un sottogruppo di $<\alpha>$ di ordine $3$ e quindi posso porre $K=<\tau>={id,\alpha^20,\alpha^40}$
Ho considerato $H uu K = {\alpha^3,\alpha^13,\alpha^23,\alpha^33,\alpha^43,\alpha^53,id, \alpha^20,\alpha^40}$
e un sottogruppo $Q$ contenente $H uu K$
ed ho detto che per via della chiusura di $Q$ rispetto alla composizioni di applicazioni , l'elemento
$\alpha^3\alpha^13\alpha^43= \alpha^(3+13+43)=\alpha^59 in Q$
ma è facile notare che $\alpha^59=\alpha^(-1)$ ed ha quindi lo stesso periodo di $\alpha$ ed è quindi un co-generatore di $<\alpha>$ ne segue allora che , per via della chiusura, $<\alpha> sube Q$ la tesi.

Arriviamo al secondo :
Si consideri $f(X)=x^4+8270*(17876)^100x^3+15413^798543x+2*(27584)^81 in Z[x]$
a) Provare che $f(x) in ZZ_3[x]$ si decompone nel prodotto di fattori lineari.

Innanzi tutto ho ridotto i coefficienti modulo 3 e quindi
$f(x)=x^4+2*(2^100)x^3+2^(798543)x+2*(2)^81 in ZZ_3[x]$
notando ora che $2$ non è multiplo di 3, per il piccolo t. di fermat, posso dire che
$2^100=(2^2)^50=1^50=1$
$2^(798543)=2$ e $2^81=2$
pertanto $f(x)=x^4+2x^3+2x+1$
ed ho notato alla fine che $f(x)=(x+2)^4$

b) considerare lo stesso polinomio però in $ZZ_5[x]$ e determinarne una fattorizzazione.

l'ho sbagliato, preso dalla fretta ho ridotto i coefficienti in maniera errata, uffa!
riscrivendo mi sono accorto che non avevo posto $8270=0(mod5)$ che idiota che sono... un'esercizio sbagliato.

Arriviamo al terzo.
a) Determinare tutte le soluzioni dell'equazione $x^3=x$ in $ZZ_303$ (1)

questo, purtroppo so di non averlo fatto al completo. Ho ragionato così :
Poiché $303=3*101$ la $(1)$ è equivalente a trovare le $x$ risolventi il sistema di congruenze lineari (*)
$x^3-=x(mod3)$7
$x^3-=x(mod101)$
se $x=[0]_303$ allora è soluzione della $(1)$ , ho supposto allora che $x!={0}_3$ e di conseguenza $x!=[0]_3^^x!=[0]_101$
con queste ipotesi
(*) è equivalente a
$x^2-1(mod3)$
$x^2-=1(mod101)$
se $x^2-=1(mod3)=> 3|(x-1) vv 3|(x+1)$
se $x^2-=1(mod101)=> 101|(x-1) vv 101|(x+1)$
dunque ho quattro casi.
1° se $3|(x-1)^^101|x-1 => 303|(x-1)$ e cioè $x={1}_303$ è soluzione della 1. (ho trovato risolvendo il sistema)
2° se $3|(x-1) ^^ 101|(x+1) => 303|(x-100) $ e cioè $x=[100]_303$ è soluzione della 1
3° se $3|(x+1) ^^ 101|x-1 => 303 | x-203$ quindi $x=[203]_303$ è soluzione della 1.
4° se $3|x+1 ^^ 101|(x+1) => 303|x-302$ ne implica che $x=[302]_303$ è soluzione della 1.

dovevo forse includere i casi in cui almeno uno era coungruo a zero tra 3 e 101......

fine. altri due non li ho toccati per mancanza di tempo. in totale ne erano 7..
secondo voi li ho intrapresi in maniera "decente", o devo aspettarmi una bella bocciatura e non conseguente ammissione all'orale?

grazie dell'ascolto...

[Draco0]

Tutto quello che hai scritto mi sembra corretto non posso dire nulla però sul' esercizio sui gruppi simmetrici visto che non so come si svolgono. Se ti può consolare l'altro ieri ho svolto l'esame scritto di algebra 1 e oggi ho saputo i risultati, ho ottenuto un punteggio di 7/30. Spero che la tua prova,rispetto alla mia, sia andata molto meglio!