Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Buonasera ragazzi, vi propongo il seguente esercizio. Esercizio. Si consideri in \(\mathbb{Z}[x]\) il polinomio \(f(x)=x^4-3x^3+3x^2-3x+2\) e sia \(g(x)\in \mathbb{Z}_3[x]\) il polinomio ottenuto da \(f(x)\) riducendone i coefficienti modulo \(3\). [*:3nswz9z4] Si scrivano le decomposizioni in fattori irriducibili di \(f(x)\) in \(\mathbb{Q}[x]\) e di \(g(x)\) in \(\mathbb{Z}_3[x]\);[/*:m:3nswz9z4] [*:3nswz9z4] si dica se l'anello \(B : = \mathbb{Z}_3[x] / g(x)\) è un campo e se ne determini ...

Salve, sto facendo degli esercizi sulle divisioni tra polinomi con metodo normale e con ruffini, questa però non riesco a farla, mi nasce anche il dubbio circa l'ordinamento decrescente rispetto alla variabile perchè noto ad es. che ci sono dei termini che pur non essendo simili hanno lo stesso grado rispetto a x o y. Come si fa in questi casi? E' possibile farla anche col metodo di ruffini dato che il divisore è di 1° grado? l'operazione è la seguente: $(x^3-3x^2y+3xy^2-2x-2y^3-3y^2+y+1) : (x-2y-1)$

In generale so che vale car(Zn x Zm)=mcm(n,m). Per dimostrarlo ho pensato di considerare il morfismo da Z a Zn x Zm che manda n in ([n],[n]) e far vedere che il Ker è l'ideale (d) dove d è il mcm(n,m). avrei quindi che Zn x Zm contiene un sottoanelli isomorfo a Zd e quindi la caratteristica è d. Ora: è facile provare che se x sta in (d) allora x sta nel Ker del morfismo ma non riesco a dimostrare il contrario (ossia che se x sta nel Ker allora x sta in (d)) in modo da ottenere le due inclusioni ...

Gentili utenti del forum, approfitto come di consuetudine della vostra immensa disponibilità e pazienza per porvi alcuni quesiti Riporto alcune considerazioni del libro Elliptic Curves, number theory and cryptography di Lawrence C. Washington: 1) Data la curva ellittica $E: y^2=x^2+x+1$ su $\mathbb{F}_5$ per determinarne i punti si elencano tutti i valori possibili di $x$, poi di $x^3+x+1$ $(mod 5)$ e infine si calcola la radice quadrata ...

Sto svolgendo degli ersercizi sul metodo di crittografia a chiave pubblica RSA. Dopo aver trovato la chiave pubblica e quella privata devo codificare il messaggio usando questa formula \( C=M^{e}\ \ mod\ \ n \) Tutto ok se ho una \(M\) e una \(e\) abbastanza piccoli. Ad esempio \(3^{4}\ \ mod\ \ 7 \) che dà \(4\) Ma in un esercizio che sto facendo ora devo fare \( C=(124)^{79}\ \ mod\ \ 1363 \). Addirittura la calcolatrice non riesce a farlo e considerando che dovrei fare il calcolo a mano mi è ...

Buongiorno, in giro ho visto che, dato $G$ un gruppo di Lie compatto e $T$ il suo toro massimale, il gruppo di Weyl è definito come il quoziente $\frac{N(T)}{T}$, dove con $N(T)$ denoto il normalizzatore nel gruppo del toro. Come mai questa definizione coincide con quella data per le algebre di Lie di gruppo di permutazione delle radici? Immagino quindi che nel caso in cui il gruppo di Lie $G$ sia quello unitario o $GL$, allora ...

Mi sono imbattuto in questo esercizio di cui non riesco a comprendere le modalità di svolgimento, mi potreste consigliare come fare, per favore? P.S. L'immagine si visualizza cliccando col tasto destro "visualizza immagine", altrimenti risulta tagliata... Grazie mille a tutti!

Per come è definito l'insieme $ QQ := { p / q : p , q in ZZ , q != 0 } $ ,esso ammette denominatori negativi; ma qual'è l'operazione logica di una scrittura di questo tipo $ 1 / -5 $ ? Non sarebbe più corretto definirlo cosi $ QQ := { p / q : p , q in ZZ , q > 0 } $ ? p.s. attendo risposte, rimproveri, chiarimenti, e altro...... Grazie in anticipo. Buon apprendimento a tutti.

buongiorno ragazzi, vi scrivo perchè ho un piccolo problema che non sono ancora riuscito a risolvere, inizio facendovi capire come risolvo il tutto per trovare l'identità di bezout e dopo espongo il problema: (6,5)=1 precisamente 6=5*1+1; 5=1*5+0; mcd=1 mentre per trovare l'identità vado a salire, non trascrivendo l'ultima riga, quindi in questo caso facilmente 1=6-5*1 e non ho bisogno di andare a sostituire nessuna riga... oggi però mi si è presentato (30,3) e non ho saputo risolverla, ...

Siano $A$ e $B$ due insiemi tali che $|P(A)|=8$,$|P(B)|=32$ e $|P(AnnB)|=4$ quello che vorrei capire io è il perchè $|P(AuuB)|- |P(B \ A)|=56$ è vera!!!! scusate ma l'ultima formula non capisco il perchè ma non l'ha scritta bene comunque è B-A a me risulta $60$ dove sbaglio????

Salve, mi chiedevo se è possibile sapere a priori quanti sottogruppi ha un gruppo arbitrario. A volte quest'operazione è possibile attraverso i teoremi di Sylow ma, in generale, vi è una formula o un procedimento strutturato per calcolare questo numero?

Ciao ragazzi, devo sostenere l'esame di Geometria 2 e non so come risolvere questo esercizio Testo: Verificare se l'elemento (1,0,1,1) è un generatore del gruppo moltiplicativo GF(2^4)* Grazie anticipatamente a tutti coloro che mi daranno una mano!

Salve a tutti, posto qui lo svolgimento del mio esercizio e per cortesia mi piacerebbe sapere se è giusto o meno. Traccia: Sia G un gruppo. Provare il seguente: siano H e K sottogruppi di G. Se \(\displaystyle H \subseteq K \), allora H è un sottogruppo di K. Svolgimento: abbiamo che ogni elemento di H è anche elemento di K. Poichè i sottogruppi sono anche gruppi, è giusto considerare anche il seguente: il sottogruppo H del gruppo G è sottoinsieme del gruppo K. K è sottogruppo di G, perciò ...

Come ho cercato di spiegare nel titolo, sto cercando di capire perchè l'indice del normalizzatore di un sgr $H$ di $G$ mi dice quanti sono i coniugati di $H$ (ovvero quante immagini ha $H$ secondo il coniugio). Non so come spiegarmelo, ma credo sia una stupidaggine.

Salve ragazzi, ho un dubbietto riguardo il seguente esercizio. Esercizio. Sia \[A:=\left\{ \begin{pmatrix} a & b\\ -b& a \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{Z})\, \Bigg|\, a,b\in \mathbb{Z}\right\} \] Verificare che l'applicazione $f : A\to ZZ_{26}$ definita da \[ \begin{pmatrix} a & b\\ -b& a \end{pmatrix} \mapsto [a-5b]_{26}\] è un epimorfismo di anelli. E' semplice mostrare che $f$ è un omomorfismo di anelli (so già che $A\le M_2(ZZ)$). Devo far vedere che $f$ è ...

Salve a tutti, non so come risolvere quest'esercizio, che chiede Determinare il sottogruppo ciclico generato da f in S6 dove $ f= $ $ ( ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ),( 3 , 2 , 1 , 5 , 6 , 4 ) ) $ potreste aiutarmi? vi ringrazio

ciao a tutti, ho un dubbio riguardo un'equazione nel campo complesso: l'equazione è: $ (z^4- 1/ root(2)3) / (i -1) = (1-i)/2 $ che dopo vari passaggi mi porta a: $ z^4=1/root(2)3 +i $ ora, ho che $ alpha = 1/root(2)3 $ e $ beta = 1 $ da cui $ rho=root(2)(1/3+1) =root(2)(4/root(2)3) = 4/root(2)3 $ $ alpha = rho cos theta $ $ beta = rho sen theta $ $ beta /alpha = (rho sen theta) / (rho cos theta) $ sapendo che $ beta /alpha = 1 / (1/root(2)3) $ ho che $ tan theta=root(2) 3 $ quindi $ theta= pi/3 $ ora, la formula per ricavare le radici che ho (ma non sono sicuro che sia esatta) è: $ z^k=rho^(1/n)(cos (alpha /n + (2kpi)/n) + i sen (alpha /n + (2kpi)/n)) $ e ...

Ciao a tutti mi e' stato dato come esercizio da dimostrare la seguente formula $|AuuB| = |A|+|B|-|AnnB|$ l'unico ragionamento che mi e' venuto in mente e' quello di esprimere ogni insieme come unione di insiemi disgiunti cioe' $A = (A-B) uu (AnnB)$ $B = (B-A) uu (AnnB)$ da cui $|A|+|B| = |A-B|+|B-A|+2|AnnB|$ da cui $|A|+|B|-|AnnB| = |A-B|+|B-A|+|AnnB| = |(A-B) uu (B-A) uu (AnnB)| = |AuuB|$ volevo sapere se e' corretta oppure ho usato qualche ragionamento improprio se e' sbagliata,mi potreste aiutare con qualche dritta? grazie

Salve amici, sto cercando di provare quanto segue. Proposizione. Sia $\sigma\in \mathcal{S}_n$ e sia $a\in X : =\{1,..., n\}$. Allora esiste un intero positivo $l$ tale che l'orbita di $a$ sotto l'azione di $\sigma$ sia data da \[\Omega_\sigma(a) = \{\sigma^0(a),\sigma^1(a),\dots, \sigma^{l-1}(a)\}\] ove gli elementi elencati sono a due a due distinti. In particolare dovrei dimostrare l'ultima parte dell'enunciato (quella sottolineata, per intenderci). Partendo dal ...

Ultimamente facendo un po' di esercizi sulla teoria di Galois mi sono imbattuto in qualche dubbio circa la classificazione di un gruppo di Galois data un'estensione E|F, conoscendo solo la partizione(secondo le orbite) dell'insieme delle radici del polinomio di cui E è campo di spezzamento. Ancora più precisamente, se $\grad$ è l'insieme delle radici di un polinomio irriducibile $F$ e $E$ è il campo di spezzamento di $F$, si ha che l'azione ...