Proprietà di una successione
Ciao a tutti, mi è venuta in mente questa cosa (relativamente facile) che ora scrivo:
da ogni numero naturale di 3 cifre costruiamo il "successivo" nel seguente modo: le centinaia del successivo sono la somma tra le centinaia e le decine del precedente, modulo 9; le decine del successivo sono la somma tra le decine e le unità del precedente, modulo 9; le unità del successivo sono la somma tra le unità e le centinaia del precedente, modulo 9.
Si crea quindi una successione.
Esempio: 100, 101, 112, 233, 565, 221, 433, ...
Ovviamente dopo un po' i numeri si ripetono. Per ogni numero a 3 cifre preso come dato iniziale della successione, chiamo "antiperiodo" il numero di numeri che si ripetono una volta sola nella successione, e "periodo" il numero di numeri che si ripetono infinite volte nella successione (credo che il senso sia chiaro).
Ho velocemente scritto un programma per calcolare queste quantità, di cui riporto le prime trenta:
La cosa che mi ha stupito è che il periodo delle varie cifre è di una regolarità impressionante (1,6,18).
Il che mi ha fatto pensare: vuoi vedere se prendo i numeri dei vari periodi e li considero insieme, questi sono "classi chiuse" di un "insieme con proprietà algebriche"? Uso questi termini tra virgolette perché mi verrebbe da dire che sono sottogruppi in un gruppo ma qui non è neanche definita un'operazione quindi sicuramente non è un gruppo.
La mia domanda è: che oggetto algebrico si è creato? [I miei ricordi di algebra si fermano ad algebra 2 di 3 anni fa quindi sono un tantino arrugginito
]
Ciao
da ogni numero naturale di 3 cifre costruiamo il "successivo" nel seguente modo: le centinaia del successivo sono la somma tra le centinaia e le decine del precedente, modulo 9; le decine del successivo sono la somma tra le decine e le unità del precedente, modulo 9; le unità del successivo sono la somma tra le unità e le centinaia del precedente, modulo 9.
Si crea quindi una successione.
Esempio: 100, 101, 112, 233, 565, 221, 433, ...
Ovviamente dopo un po' i numeri si ripetono. Per ogni numero a 3 cifre preso come dato iniziale della successione, chiamo "antiperiodo" il numero di numeri che si ripetono una volta sola nella successione, e "periodo" il numero di numeri che si ripetono infinite volte nella successione (credo che il senso sia chiaro).
Ho velocemente scritto un programma per calcolare queste quantità, di cui riporto le prime trenta:
Numero Antiperiodo Periodo 0 0 1 1 2 18 2 2 18 3 2 6 4 2 18 5 2 18 6 2 6 7 2 18 8 2 18 9 2 1 10 2 18 11 1 18 12 1 6 13 1 18 14 1 18 15 1 6 16 1 18 17 1 18 18 1 6 19 1 18 20 2 18 21 1 6 22 1 18 23 1 18 24 1 6 25 1 18 26 1 18 27 1 6 28 1 18 29 1 18 30 2 6 ecc
La cosa che mi ha stupito è che il periodo delle varie cifre è di una regolarità impressionante (1,6,18).
Il che mi ha fatto pensare: vuoi vedere se prendo i numeri dei vari periodi e li considero insieme, questi sono "classi chiuse" di un "insieme con proprietà algebriche"? Uso questi termini tra virgolette perché mi verrebbe da dire che sono sottogruppi in un gruppo ma qui non è neanche definita un'operazione quindi sicuramente non è un gruppo.
La mia domanda è: che oggetto algebrico si è creato? [I miei ricordi di algebra si fermano ad algebra 2 di 3 anni fa quindi sono un tantino arrugginito
]Ciao
Risposte
In questo caso e' utile vedere un numero di tre cifre $a,b,c$ come il
polinomio $a+bX+cX^2$ dell'anello finito $ZZ_9[X]$/$(X^3-1)$.
Con questa identificazione, ogni "passo" per ottenere il numero successivo
nella successione, trasforma il polinomio $a+bX+cX^2$ nel polinomio
$(a+b)+(b+c)X+(a+c)X^2$. Poiche' si ha che
$(X^2+1)(a+bX+cX^2)=(a+b)+(b+c)X+(a+c)X^2$ modulo $X^3-1$, questa
trasformazione coincide con la moltiplicazione per il polinomio $f=X^2+1$.
Poiche' $f=X^2+1$ e' invertibile in $ZZ_9[X]$/$(X^3-1)$, la lunghezza
del periodo della successione associata da gygabyte017 ad un numero $a,b,c$
e' quindi il piu' piccolo $m>0$ tale che il polinomio $g=a+bX+cX^2$ soddisfa
$f^mg = g$ nell'anello $ZZ_9[X]$/$(X^3-1)$.
Con questa traduzione del problema, si dimostra facilmente che ci sono
QUATTRO possibilita' per il periodo $m$:
$m=1$: i numeri con cifre soltanto $0$ e $9$
$m=2$: i numeri $174$ e $258$, loro permutazioni cicliche e i numeri $333$ e $666$.
$m=6$: i numeri divisibili per 3 che non hanno periodo $m=1$ oppure $m=2$.
$m=18$: il resto.
Dimostrazione:
$m=1$: L'unico polinomio $g$ con $fg=g$ e' il polinomio nullo. Questo segue
dal fatto che $f-1=X^2$ e' invertibile in $ZZ_9[X]$/$(X^3-1)$. I numeri $a,b,c$ che
producono una successione di periodo $m=1$ sono quindi quelli che hanno
cifre soltanto $0$ oppure $9$.
Gli altri periodi $m$ che appaiono sono sempre pari. Questo segue dal fatto che
$f^m-1$ e' invertibile se $m$ e' dispari. Poiche' il gruppo degli elementi invertibili
dell'anello $ZZ_9[X]$/$(X^3-1)$ ha ordine $6\cdot9^2$, il Teorema di Lagrange
implica che ogni periodo $m>1$ ha la forma $m= 2\cdot 3^k$ per qualche $k$.
$m=2$: Si ha che $f^2=1+X+2X^2$. Gli elementi di periodo $m=2$ sono quindi i
polinomi non nulli $g\in ZZ_9[X]$/$(X^3-1)$ con $(X+2X^2)g=0$. Poiche' si ha che
$(X+2X^2)(a+bX+cX^2)=(c+2b)+(a+2c)X+(b+2a)X^2$, questo significa che
$g=a+bX+cX^2$ con $b=-2a$ e $c=-2b=4a$. Gli elementi $g$ hanno quindi la forma
$a(1-2X+4X^2)$ per qualche $a \in ZZ_9$ non zero. Gli otto numeri corrispondenti
sono: $174$ e $258$, loro permutazioni cicliche e i due numeri $333$ e $666$.
$m=6$: Poiche' $f^6=1-3(1+X+X^2)$, gli elementi $g=a+bX+cX^2$ di periodo un
divisore di $m=6$ sono quelli che soddisfano $3(1+X+X^2)g=0$ in $ZZ_9[X]$/$(X^3-1)$.
Dal fatto che $3(X^2+X+1)(a+bX+cX^2)=3(a+b+c)(X^2+X+1)$ segue
che $a+b+c$ e' divisibile per $3$. In altre parole, il numero corrispondente $a,b,c$ e'
divisibile per $3$.
$m=18$: Infine, si ha che $f^18=1$ in $ZZ_9[X]$/$(X^3-1)$ e quindi il periodo di
ogni successione divide 18.
polinomio $a+bX+cX^2$ dell'anello finito $ZZ_9[X]$/$(X^3-1)$.
Con questa identificazione, ogni "passo" per ottenere il numero successivo
nella successione, trasforma il polinomio $a+bX+cX^2$ nel polinomio
$(a+b)+(b+c)X+(a+c)X^2$. Poiche' si ha che
$(X^2+1)(a+bX+cX^2)=(a+b)+(b+c)X+(a+c)X^2$ modulo $X^3-1$, questa
trasformazione coincide con la moltiplicazione per il polinomio $f=X^2+1$.
Poiche' $f=X^2+1$ e' invertibile in $ZZ_9[X]$/$(X^3-1)$, la lunghezza
del periodo della successione associata da gygabyte017 ad un numero $a,b,c$
e' quindi il piu' piccolo $m>0$ tale che il polinomio $g=a+bX+cX^2$ soddisfa
$f^mg = g$ nell'anello $ZZ_9[X]$/$(X^3-1)$.
Con questa traduzione del problema, si dimostra facilmente che ci sono
QUATTRO possibilita' per il periodo $m$:
$m=1$: i numeri con cifre soltanto $0$ e $9$
$m=2$: i numeri $174$ e $258$, loro permutazioni cicliche e i numeri $333$ e $666$.
$m=6$: i numeri divisibili per 3 che non hanno periodo $m=1$ oppure $m=2$.
$m=18$: il resto.
Dimostrazione:
$m=1$: L'unico polinomio $g$ con $fg=g$ e' il polinomio nullo. Questo segue
dal fatto che $f-1=X^2$ e' invertibile in $ZZ_9[X]$/$(X^3-1)$. I numeri $a,b,c$ che
producono una successione di periodo $m=1$ sono quindi quelli che hanno
cifre soltanto $0$ oppure $9$.
Gli altri periodi $m$ che appaiono sono sempre pari. Questo segue dal fatto che
$f^m-1$ e' invertibile se $m$ e' dispari. Poiche' il gruppo degli elementi invertibili
dell'anello $ZZ_9[X]$/$(X^3-1)$ ha ordine $6\cdot9^2$, il Teorema di Lagrange
implica che ogni periodo $m>1$ ha la forma $m= 2\cdot 3^k$ per qualche $k$.
$m=2$: Si ha che $f^2=1+X+2X^2$. Gli elementi di periodo $m=2$ sono quindi i
polinomi non nulli $g\in ZZ_9[X]$/$(X^3-1)$ con $(X+2X^2)g=0$. Poiche' si ha che
$(X+2X^2)(a+bX+cX^2)=(c+2b)+(a+2c)X+(b+2a)X^2$, questo significa che
$g=a+bX+cX^2$ con $b=-2a$ e $c=-2b=4a$. Gli elementi $g$ hanno quindi la forma
$a(1-2X+4X^2)$ per qualche $a \in ZZ_9$ non zero. Gli otto numeri corrispondenti
sono: $174$ e $258$, loro permutazioni cicliche e i due numeri $333$ e $666$.
$m=6$: Poiche' $f^6=1-3(1+X+X^2)$, gli elementi $g=a+bX+cX^2$ di periodo un
divisore di $m=6$ sono quelli che soddisfano $3(1+X+X^2)g=0$ in $ZZ_9[X]$/$(X^3-1)$.
Dal fatto che $3(X^2+X+1)(a+bX+cX^2)=3(a+b+c)(X^2+X+1)$ segue
che $a+b+c$ e' divisibile per $3$. In altre parole, il numero corrispondente $a,b,c$ e'
divisibile per $3$.
$m=18$: Infine, si ha che $f^18=1$ in $ZZ_9[X]$/$(X^3-1)$ e quindi il periodo di
ogni successione divide 18.
Ottimo, è proprio il tipo di argomento che mi sarebbe piaciuto leggere!
Mille grazie!
Mille grazie!
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