Se il gruppo di Galois di un'estensione è abeliano
Salve a tutti, vorrei porvi un quesito sulla teoria di Galois:
Sia $E|\mathbbQ$ un'estensione di campi, con $E$ campo di spezzamento di un polinomio irriducibile $f \in \mathbbQ[x]$. Siano $ \alpha_1,...alpha_n $ le radici di $f$ in $E$, e si supponga che $ Gal(E|\mathbbQ) $ sia abeliano. Si provi che per ogni $i = 1... n$: $E = \mathbbQ[ alpha_ i]$, e quindi che $ [E : \mathbbQ] = deg (f) $.
Allora prima di tutto, il polinomio f è irriducibile, dunque poichè $char\mathbbQ=0$ allora è separabile e dunque nel suo campo di spezzamento $E$ ha tutte radici semplici e dunque $|G|=[E:\mathbbQ]=deg(f)$. Che indicazioni mi dà il fatto che il gruppo di Galois G è abeliano? Come lo posso sfruttare? Ho fatto un po' di esercizi sulla Teoria di Galois, in particolare descrivere alcuni campi di spezzamento e dire se sono abeliani, ma non riesco a cogliere il "viceversa" (se non che G ha tutti sottogruppi normali e quindi che tutte le estensioni $\mathbbQ[\alpha_i]$ sono normali su $\mathbbQ$).
Dunque adesso che ci penso l'esercizio era scritto con al posto di $\mathbbQ$ un generico campo $ F$... dunque se $Gal(E|F)$ è abeliano allora l'estensione $E|F $ è di Galois? (se $charF=0$ e $f$ è irriducibile mi torna, ma se $charF=p$?).
Ringrazio tutti e spero di non aver commesso errori a scrivere!
Sia $E|\mathbbQ$ un'estensione di campi, con $E$ campo di spezzamento di un polinomio irriducibile $f \in \mathbbQ[x]$. Siano $ \alpha_1,...alpha_n $ le radici di $f$ in $E$, e si supponga che $ Gal(E|\mathbbQ) $ sia abeliano. Si provi che per ogni $i = 1... n$: $E = \mathbbQ[ alpha_ i]$, e quindi che $ [E : \mathbbQ] = deg (f) $.
Allora prima di tutto, il polinomio f è irriducibile, dunque poichè $char\mathbbQ=0$ allora è separabile e dunque nel suo campo di spezzamento $E$ ha tutte radici semplici e dunque $|G|=[E:\mathbbQ]=deg(f)$. Che indicazioni mi dà il fatto che il gruppo di Galois G è abeliano? Come lo posso sfruttare? Ho fatto un po' di esercizi sulla Teoria di Galois, in particolare descrivere alcuni campi di spezzamento e dire se sono abeliani, ma non riesco a cogliere il "viceversa" (se non che G ha tutti sottogruppi normali e quindi che tutte le estensioni $\mathbbQ[\alpha_i]$ sono normali su $\mathbbQ$).
Dunque adesso che ci penso l'esercizio era scritto con al posto di $\mathbbQ$ un generico campo $ F$... dunque se $Gal(E|F)$ è abeliano allora l'estensione $E|F $ è di Galois? (se $charF=0$ e $f$ è irriducibile mi torna, ma se $charF=p$?).
Ringrazio tutti e spero di non aver commesso errori a scrivere!
Risposte
"iDesmond":Questo non è vero in generale. Per esempio se [tex]f(X) = X^4-2[/tex] si ha [tex][E:\mathbb{Q}] = 8 \neq 4 = \deg(f)[/tex]. Ti serve il fatto che [tex]G[/tex] è abeliano per concludere. Come dici giustamente ogni [tex]\mathbb{Q}(\alpha_i)[/tex] è normale, cioè [tex]G[/tex]-invariante, quindi siccome [tex]G[/tex] è transitivo sugli zeri di [tex]f[/tex] (essendo [tex]f[/tex] irriducibile) tutti gli [tex]\alpha_j[/tex] appartengono a [tex]\mathbb{Q}(\alpha_i)[/tex] e quindi [tex]\mathbb{Q}[\alpha_i] = \mathbb{Q}(\alpha_i)=E[/tex].
[tex][E:\mathbb{Q}]=\deg(f)[/tex].
L'interpretazione in teoria dei gruppi è la seguente: ogni azione fedele e transitiva di un gruppo abeliano è regolare (cioè gli stabilizzatori sono banali). Se conosci abbastanza le azioni dei gruppi questo è facile da vedere: detto [tex]H[/tex] uno stabilizzatore nel gruppo abeliano [tex]G[/tex] (che agisce fedelmente e transitivamente), il nucleo dell'azione è l'intersezione dei coniugati di [tex]H[/tex], detto cuore normale di [tex]H[/tex] e indicato con [tex]H_G[/tex]. Quindi [tex]H_G=\{1\}[/tex] essendo l'azione fedele. Ma essendo [tex]G[/tex] abeliano, [tex]H[/tex] (come ogni altro sottogruppo) è normale in [tex]G[/tex] e quindi coincide con tutti i suoi coniugati, per cui coincide pure con la loro intersezione: [tex]H = H_G = \{1\}[/tex].
Se l'azione di [tex]G[/tex] su un insieme [tex]X[/tex] è regolare allora dall'equazione delle classi segue [tex]|G|=|X|[/tex]. Tornando alla teoria di Galois, questo significa che se il gruppo di Galois di un polinomio irriducibile separabile è abeliano il suo ordine è uguale al numero degli zeri del polinomio, cioè al suo grado (essendo il polinomio separabile).
Si ho scritto un uguale di troppo 
Mi sfugge l'implicazione$ \mathbb{Q}(\alpha_i)$ normale $=> G$-invariante
G inviariante significa che il sottogruppo di $G$: $Gal( \mathbb{Q}(\alpha_i)|\mathbb{Q})^(g) = Gal( \mathbb{Q}(\alpha_i)|\mathbb{Q}), \forall g \in G$ ?
Una domanda di nomenclatura, dato che non ho mai usato la forma G-invariante, equivale a dire che $ \mathbb{Q}(\alpha_i)=Inv_E(G)$ ?
Ho afferrato il discorso sulla regolarità dei gruppi abeliani.
Mi sfugge l'implicazione$ \mathbb{Q}(\alpha_i)$ normale $=> G$-invariante
G inviariante significa che il sottogruppo di $G$: $Gal( \mathbb{Q}(\alpha_i)|\mathbb{Q})^(g) = Gal( \mathbb{Q}(\alpha_i)|\mathbb{Q}), \forall g \in G$ ?
Una domanda di nomenclatura, dato che non ho mai usato la forma G-invariante, equivale a dire che $ \mathbb{Q}(\alpha_i)=Inv_E(G)$ ?
Ho afferrato il discorso sulla regolarità dei gruppi abeliani.
Se a un intercampo [tex]K[/tex] corrisponde, tramite le connessioni di Galois, un sottogruppo normale allora [tex]K[/tex] è stabile / normale / invariante (non so che termine sei solito usare, sono tutti equivalenti).
L'intercampo [tex]K[/tex] è detto invariante in [tex]E|F[/tex] (estensione di Galois con gruppo di Galois [tex]G[/tex]) se per ogni [tex]x \in K[/tex], [tex]g \in G[/tex] si ha [tex]x^g \in K[/tex] (o [tex]g(x) \in K[/tex], dipende dalla notazione che usi).
L'intercampo [tex]K[/tex] è detto invariante in [tex]E|F[/tex] (estensione di Galois con gruppo di Galois [tex]G[/tex]) se per ogni [tex]x \in K[/tex], [tex]g \in G[/tex] si ha [tex]x^g \in K[/tex] (o [tex]g(x) \in K[/tex], dipende dalla notazione che usi).
Ho capito!
Grazie
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