Orbite e classificazione del gruppo di Galois
Ultimamente facendo un po' di esercizi sulla teoria di Galois mi sono imbattuto in qualche dubbio circa la classificazione di un gruppo di Galois data un'estensione E|F, conoscendo solo la partizione(secondo le orbite) dell'insieme delle radici del polinomio di cui E è campo di spezzamento.
Ancora più precisamente, se $\grad$ è l'insieme delle radici di un polinomio irriducibile $F$ e $E$ è il campo di spezzamento di $F$, si ha che l'azione di $G$ su $\grad$ è fedele (perché $E|F$ di Galois) e transitiva (perché $f$ irriducibile), allora cosa si può dire del gruppo di Galois $G$?
Io ho pensato che nel caso avessi due orbite della stessa cardinalità distinte allora non può essere che $G$ è ciclico, perché a queste due orbite corrisponderebbero (per forza? mi chiedo) due stabilizzatori e quindi due sottogruppi di $G$ distinti ma con lo stesso ordine (che quindi negano la possibilità che $G$ sia ciclico).
Un'altra cosa che penso di poter dire sicuramente è che se esiste un orbita di cardinalità due ${a,b}, a,b$ radici, allora esiste in $G$ un sottogruppo ciclico di ordine 2, composto dall'identità e dalla permutazione che scambia $a$ con $b$.
In senso generale la domanda quindi è: se conosco le orbite su cui agiscono gli elementi di $G$ posso dire qualcosa su $G$?
Ancora più precisamente, se $\grad$ è l'insieme delle radici di un polinomio irriducibile $F$ e $E$ è il campo di spezzamento di $F$, si ha che l'azione di $G$ su $\grad$ è fedele (perché $E|F$ di Galois) e transitiva (perché $f$ irriducibile), allora cosa si può dire del gruppo di Galois $G$?
Io ho pensato che nel caso avessi due orbite della stessa cardinalità distinte allora non può essere che $G$ è ciclico, perché a queste due orbite corrisponderebbero (per forza? mi chiedo) due stabilizzatori e quindi due sottogruppi di $G$ distinti ma con lo stesso ordine (che quindi negano la possibilità che $G$ sia ciclico).
Un'altra cosa che penso di poter dire sicuramente è che se esiste un orbita di cardinalità due ${a,b}, a,b$ radici, allora esiste in $G$ un sottogruppo ciclico di ordine 2, composto dall'identità e dalla permutazione che scambia $a$ con $b$.
In senso generale la domanda quindi è: se conosco le orbite su cui agiscono gli elementi di $G$ posso dire qualcosa su $G$?
Risposte
Non credo di capire bene la domanda. Dire che un'azione è transitiva è come dire che c'è un'unica orbita. Il gruppo di Galois di un polinomio irriducibile agisce transitivamente sulle radici, quindi c'è una sola orbita. Se c'è più di un'orbita il polinomio non è irriducibile. In generale il numero di orbite è uguale al numero di fattori irriducibili. In generale non è vero che se [tex]P,Q[/tex] sono due polinomi a coefficienti in un campo [tex]F[/tex] allora [tex]\mathcal{G}_{PQ} = \mathcal{G}_P \times \mathcal{G}_Q[/tex], ma questo diventa vero se l'intersezione dei campi di spezzamento di [tex]P[/tex] e di [tex]Q[/tex] è uguale al campo base [tex]F[/tex] (se [tex]A,B[/tex] sono sottogruppi normali di un gruppo [tex]G[/tex] e [tex]A \cap B = \{1\}[/tex] allora [tex]A \times B \cong AB = \langle A,B \rangle[/tex] e quindi [tex]G \cong A \times B[/tex] qualora [tex]\langle A,B \rangle =G[/tex]).
Io voglio capire qualcosa sul gruppo $G$, come classificarlo, al di là dell'azione.
Ad esempio se ho il polinomio $f=x^3 -2$ allora il suo campo di Galois $G$ è isomorfo a $S_3$, quindi posso classificare il gruppo di Galois di $f$ dicendo che è isomorfo a $S_3$... allora mi chiedo, se ho informazioni unicamente sulle orbite, cosa posso dire di $G$? Posso fare quello che ho fatto nei due esempi citati sopra?
EDIT praticamente cosa posso dire del gruppo $G$ dell'estensione $E|F$ conoscendo unicamente il polinomio $f$ ed il grado di $E|F$(sapendo quindi se $f$ è riducibile o no e sapendo $degf$)?
Ad esempio se ho il polinomio $f=x^3 -2$ allora il suo campo di Galois $G$ è isomorfo a $S_3$, quindi posso classificare il gruppo di Galois di $f$ dicendo che è isomorfo a $S_3$... allora mi chiedo, se ho informazioni unicamente sulle orbite, cosa posso dire di $G$? Posso fare quello che ho fatto nei due esempi citati sopra?
EDIT praticamente cosa posso dire del gruppo $G$ dell'estensione $E|F$ conoscendo unicamente il polinomio $f$ ed il grado di $E|F$(sapendo quindi se $f$ è riducibile o no e sapendo $degf$)?
Ok, penso di aver capito la domanda.
Supponiamo che tu sappia decomporre il tuo polinomio separabile [tex]P(X) \in F[X][/tex] in fattori irriducibili [tex]P_1(X) \cdots P_m(X)[/tex]. Sia [tex]G[/tex] il gruppo di Galois di [tex]E|F[/tex], dove [tex]E[/tex] è un campo di spezzamento di [tex]P(X)[/tex] su [tex]F[/tex]. Allora l'azione di [tex]G[/tex] sulle radici di [tex]P(X)[/tex] fornisce un omomorfismo
[tex]\varphi: G \to \text{Sym}(\deg(P_1(X))) \times \cdots \times \text{Sym}(\deg(P_m(X))) = H[/tex]
(dove [tex]\text{Sym}(n)[/tex] indica il gruppo simmetrico di grado [tex]n[/tex]) con la seguente proprietà: dette [tex]\pi_i: H \to \text{Sym}(\deg(P_i(X)))[/tex] le proiezioni canoniche, l'azione indotta di [tex]G_i := \pi_i(\varphi(G))[/tex] sulle [tex]\deg(P_i(X))[/tex] radici di [tex]P_i(X)[/tex] è transitiva. In altre parole [tex]G[/tex] risulta essere un prodotto sottodiretto (subdirect product) di gruppi transitivi: [tex]G[/tex] si immerge in [tex]G_1 \times \cdots \times G_m[/tex] e proietta suriettivamente su ogni fattore.
Se [tex]m=1[/tex], cioè se [tex]P(X)[/tex] è irriducibile, non puoi dire altro che [tex]G[/tex] è un gruppo transitivo di grado [tex]\deg(P(X))[/tex] (tuttavia questo non è poco). La decomposizione non è ultimata, per semplificare il problema si possono considerare i blocchi di imprimitività e ridursi ai gruppi primitivi, nello spirito del teorema di O'Nan-Scott (questo è il punto di vista puramente gruppo-teoretico, confronta con questo). Per i gradi [tex]2,3,4[/tex] si sanno fare i conti (cf. qui, voce "teoria di Galois"), ma non si conosce un metodo generale per trovare il gruppo di Galois di un polinomio.
In generale [tex]G \to G_1 \times \cdots \times G_m[/tex] non è un isomorfismo a meno che non valgano proprietà di "indipendenza algebrica" tipo quella che ti ho segnalato nell'intervento precedente.
Non mi torna l'esempio che fai sul gruppo di Galois ciclico, per esempio il gruppo di Galois di [tex]P(X) = (X^2+1)(X^2+4)[/tex] su [tex]\mathbb{Q}[/tex] è isomorfo a [tex]C_2[/tex], immerso in [tex]C_2 \times C_2 < S_4 = \text{Sym}(\deg(P(X)))[/tex] tramite l'omomorfismo diagonale [tex]g \mapsto (g,g)[/tex] (questo mostra come [tex]C_2[/tex] è un prodotto sottodiretto di due copie di [tex]C_2[/tex]).
Supponiamo che tu sappia decomporre il tuo polinomio separabile [tex]P(X) \in F[X][/tex] in fattori irriducibili [tex]P_1(X) \cdots P_m(X)[/tex]. Sia [tex]G[/tex] il gruppo di Galois di [tex]E|F[/tex], dove [tex]E[/tex] è un campo di spezzamento di [tex]P(X)[/tex] su [tex]F[/tex]. Allora l'azione di [tex]G[/tex] sulle radici di [tex]P(X)[/tex] fornisce un omomorfismo
[tex]\varphi: G \to \text{Sym}(\deg(P_1(X))) \times \cdots \times \text{Sym}(\deg(P_m(X))) = H[/tex]
(dove [tex]\text{Sym}(n)[/tex] indica il gruppo simmetrico di grado [tex]n[/tex]) con la seguente proprietà: dette [tex]\pi_i: H \to \text{Sym}(\deg(P_i(X)))[/tex] le proiezioni canoniche, l'azione indotta di [tex]G_i := \pi_i(\varphi(G))[/tex] sulle [tex]\deg(P_i(X))[/tex] radici di [tex]P_i(X)[/tex] è transitiva. In altre parole [tex]G[/tex] risulta essere un prodotto sottodiretto (subdirect product) di gruppi transitivi: [tex]G[/tex] si immerge in [tex]G_1 \times \cdots \times G_m[/tex] e proietta suriettivamente su ogni fattore.
Se [tex]m=1[/tex], cioè se [tex]P(X)[/tex] è irriducibile, non puoi dire altro che [tex]G[/tex] è un gruppo transitivo di grado [tex]\deg(P(X))[/tex] (tuttavia questo non è poco). La decomposizione non è ultimata, per semplificare il problema si possono considerare i blocchi di imprimitività e ridursi ai gruppi primitivi, nello spirito del teorema di O'Nan-Scott (questo è il punto di vista puramente gruppo-teoretico, confronta con questo). Per i gradi [tex]2,3,4[/tex] si sanno fare i conti (cf. qui, voce "teoria di Galois"), ma non si conosce un metodo generale per trovare il gruppo di Galois di un polinomio.
In generale [tex]G \to G_1 \times \cdots \times G_m[/tex] non è un isomorfismo a meno che non valgano proprietà di "indipendenza algebrica" tipo quella che ti ho segnalato nell'intervento precedente.
Non mi torna l'esempio che fai sul gruppo di Galois ciclico, per esempio il gruppo di Galois di [tex]P(X) = (X^2+1)(X^2+4)[/tex] su [tex]\mathbb{Q}[/tex] è isomorfo a [tex]C_2[/tex], immerso in [tex]C_2 \times C_2 < S_4 = \text{Sym}(\deg(P(X)))[/tex] tramite l'omomorfismo diagonale [tex]g \mapsto (g,g)[/tex] (questo mostra come [tex]C_2[/tex] è un prodotto sottodiretto di due copie di [tex]C_2[/tex]).
"Martino":
Ok, penso di aver capito la domanda.
Supponiamo che tu sappia decomporre il tuo polinomio separabile [tex]P(X) \in F[X][/tex] in fattori irriducibili [tex]P_1(X) \cdots P_m(X)[/tex]. Sia [tex]G[/tex] il gruppo di Galois di [tex]E|F[/tex], dove [tex]E[/tex] è un campo di spezzamento di [tex]P(X)[/tex] su [tex]F[/tex]. Allora l'azione di [tex]G[/tex] sulle radici di [tex]P(X)[/tex] fornisce un omomorfismo
[tex]\varphi: G \to \text{Sym}(\deg(P_1(X))) \times \cdots \times \text{Sym}(\deg(P_m(X))) = H[/tex]
(dove [tex]\text{Sym}(n)[/tex] indica il gruppo simmetrico di grado [tex]n[/tex]) con la seguente proprietà: dette [tex]\pi_i: H \to \text{Sym}(\deg(P_i(X)))[/tex] le proiezioni canoniche, l'azione indotta di [tex]G_i := \pi_i(\varphi(G))[/tex] sulle [tex]\deg(P_i(X))[/tex] radici di [tex]P_i(X)[/tex] è transitiva. In altre parole [tex]G[/tex] risulta essere un prodotto sottodiretto (subdirect product) di gruppi transitivi: [tex]G[/tex] si immerge in [tex]G_1 \times \cdots \times G_m[/tex] e proietta suriettivamente su ogni fattore.
Se [tex]m=1[/tex], cioè se [tex]P(X)[/tex] è irriducibile, non puoi dire altro che [tex]G[/tex] è un gruppo transitivo di grado [tex]\deg(P(X))[/tex] (tuttavia questo non è poco). La decomposizione non è ultimata, per semplificare il problema si possono considerare i blocchi di imprimitività e ridursi ai gruppi primitivi, nello spirito del teorema di O'Nan-Scott (questo è il punto di vista puramente gruppo-teoretico, confronta con questo).
Interessante, supponevo si potesse fare una cosa del genere, ma non mi ci sono messo a pensare ancora
"Martino":
Non mi torna l'esempio che fai sul gruppo di Galois ciclico, per esempio il gruppo di Galois di [tex]P(X) = (X^2+1)(X^2+4)[/tex] su [tex]\mathbb{Q}[/tex] è isomorfo a [tex]C_2[/tex], immerso in [tex]C_2 \times C_2 < S_4 = \text{Sym}(\deg(P(X)))[/tex] tramite l'omomorfismo diagonale [tex]g \mapsto (g,g)[/tex] (questo mostra come [tex]C_2[/tex] è un prodotto sottodiretto di due copie di [tex]C_2[/tex]).
Probabilmente sto sbagliando qualcosa io allora. Se io ho un gruppo ciclico, dato un divisore del suo ordine allora esiste ed è unico un sottogruppo con tale ordine. Dunque mi chiedevo se, ne caso in cui ci siano due orbite della stessa cardinalità, allora ci devono essere nel gruppo corrispondente di Galois due sottogruppi dello stesso ordine, negando la possibilità che G sia ciclico.
Il problema è che due radici distinte possono avere lo stesso stabilizzatore.
giusto ad esempio se considero $f=(x^2+10)(x^2+5)$...
Quindi non si può dire nulla(se non la transitività) di un gruppo $G$ conoscendo le orbite su cui agisce.
Grazie!
Quindi non si può dire nulla(se non la transitività) di un gruppo $G$ conoscendo le orbite su cui agisce.
Grazie!
"iDesmond":Non so cosa intendi, [tex]i \sqrt{5}[/tex] e [tex]i \sqrt{10}[/tex] non hanno lo stesso stabilizzatore e il gruppo di Galois risulta [tex]C_2 \times C_2[/tex].
giusto ad esempio se considero $f=(x^2+10)(x^2+5)$...
Come esempio puoi prendere quello che ti ho segnalato sopra, [tex](X^2+1)(X^2+4)[/tex]. Qui le radici [tex]i[/tex] e [tex]2i[/tex] appartengono a orbite distinte ma hanno lo stesso stabilizzatore (perché [tex]2 \in \mathbb{Q}[/tex]).
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