Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Come dimostrereste che se $G = <g>$ e se $H=<g^n>$ allora si ha
\[|\langle g^n\rangle|=o(g^n)=\dfrac{o(g)}{\text{MCD}(n,o(g))}\tag{P}\]
? (ovviamente parlo della seconda uguaglianza). Non mi pare tanto tanto immediata come cosa
Io ho fatto così:
Si ha
\[
o(g^n)=\min\{i>0\, |\, g^{in}=1_G\}=\min\{i>0\,|\,in\equiv 0\mod o(g)\}=\]
\[=\dfrac{\text{mcm}(n,o(g))}{n}=\dfrac{ \dfrac{o(g)\cdot n}{\text{MCD}(n,o(g))} }{n}\]
che è la $(\text{P})$.
Se ho un intero b congruo a 7mod 8 come posso dimostrare che b non è somma di tre quadrati??
Qualcuno mi sa dire qual è il gruppo di Galois di $x^3-2x+4$ io ho calcolato le soluzioni che sono $-2$ , $1-i$ e $1+i$ e poi? Quali sono gli elementi di Gal(f/Q)??
Ciao a tutti..dovrei trovare gli zeri del polinomio $x^3-2x+4$ con le formule di Cardano cosa che sembra molto banale ma a me vengono i calcolo sbagliati lerchè mi viene come soluzione la radice cubica di meno quattro, ma si vede ad occhio che l unica soluzione reale è -2.
Qualcuno mi potrebbe scrivere i passaggi per arrivare al risultato esatto? grazie mille!!!
Mi ritrovo questa affermazione tra gli appunti presi durante un'esercitazione:
...poichè $6|12=|U(ZZ_{28})|$, sicuramente $ZZ_{28}$ contiene un elemento di periodo $6$...
Ora io so che, per Lagrange, se $G$ è un gruppo finito, ogni suo elemento è periodico e il suo ordine divide $|G|$. Non mi pare che questo voglia dire che $\forall n$ tale che $n|\ |G|$ esiste $H\le G$ tale che $|H|=n$, e nemmeno che ...
Su internet ho trovato scritto che tale congettura sia stata dimostrata (?)
dal matematico giapponese Shinichi Mochizuki ,
se non ho capito male la congettura afferma che :
Presi tre interi positivi $a , b , c $ senza fattori primi comuni (tranne il numero $1$)
e soddisfatta la relazione $c=a+b$ ,
il prodotto dei fattori distinti di $a , b , c $ , (ad esempio se fosse $a=4 = 2^2$ dovremmo prendere solo il $2$ per il computo di ...
Salve a tutti, sono Marco, nuovo del Forum. Volevo sottoporvi una questione che riguarda la dimostrazione di un lemma (che in un articolo che ho letto veniva chiamato Lemma di Merson, ma non veniva dimostrato) nell'ambito dei gruppi topologici: il teso è questo:
Dato un gruppo topologico $(G,T)$, $H$ sottogruppo di $G$ e una topologia meno fine $\tau\subset T$ tale che $\tau |_H=T|_H$ e $T / H=\tau / H$ allora $\tau=T$.
Quindi il tutto sta ...
salve ragazzi ho un problema con il gruppo quoziente. infatti se considero il gruppo diedrale modulo il sottogruppo generato dai commutatori so che questo ha cardinalità 2n diviso il numero delle rotazioni con potenze pari. Da ciò se ne deduce che quando n è dispari il gruppo quoziente è isomorfo a Z due. Ho provato a verificare questo considerando D3 modulo il sottogruppo formato dall'identità e da R^2, ma nn mi risulta isomorfo a Z2. sapreste dirmi cosa sbaglio?? [xdom="Martino"]Ho messo il ...
Devo dimostrare algebricamente il teorema di de morgan:
$bar(A)*bar(B)=bar(A+B)$
potreste spiegarmi, come, con passaggi semplici posso dimostrare questo teorema?
Esercizio. Sia $\phi_{a,n} : ZZ<em>\to Z_n$ l'applicazione tale che, $\forall z=x+iy\in ZZ<em>$, $phi_{a,n}(z)=[a(x^2+y^2)]_n$. Si dica per quali interi dispari $a$ e per quali interi $n>1$ l'applicazione $\phi_{a,n}$ è un omomorfismo di anelli.
Vediamo un po'. Parto dal prodotto. Consideriamo $z,z'\in ZZ<em>$, $z=x+iy$ e $z'=x'+iy'$. Osservo che
\[\varphi(z)=[a\, ||z||]_n=[a]_n[||z||]_n\]
Ho
\[\varphi(z\cdot z')=[a]_n[||zz'||]_n=[a]_n[||z||\cdot||z'||]_n\]
Ponendo ...
La traccia è la seguente: "Supponendo di voler trasmettere la seguente stringa di 7bit 0000101, quale sarà la configurazione della codifica da trasmettere utilizzando un codice di Hamming a parità dispari e pari?"
allora il numero dei bit di controllo sarà 4 applicando la formula quindi, ponendolo nelle posizioni potenza di 2 i bit di controllo si avrà:
**0*000*101
*=bit di controllo
il mio problema è che non so ricavare i bit ...
Ho bisogno del vostro aiuto!
Se so che: \(\ H=< \alpha , \beta> \) e \(\ K=< \gamma > \) con \(\alpha =(134) \) , \(\beta=(13) \) e \(\gamma=(25) \) e inoltre \(\ G=< H , K> = HK \) , ho provato che \(G\) prodotto diretto di \(H\) e \(K\).
Ho anche provato che \(H\) è normale in \(G\), \(K\) è normale in \(G\), a questo punto posso dire che \(\ T=< \alpha^2 > \) è normale in \(G\) ???
Ho un omomorfismo di anelli $\phi : A\to B$, e mi viene chiesto di provare che $\Ker \phi$ non è un sottogruppo ciclico. Si sta parlando del sottogruppo $(\Ker \phi, +)$, ovviamente, no?
EDIT: ripensandoci, non potrebbe essere altrimenti $A=ZZ<em>$ è un anello commutativo "e basta", quindi $(\ker\phi ,\cdot)$ non può essere sottogruppo di $(A,\cdot)$ proprio perchè $(A,\cdot)$ non è un gruppo
Si tratta di mostrare che se un campo $F$ ha caratteristica $p$ allora $F$ è perfetto se e solo se $F=F^p$. $Leftarrow$ non dà problemi. Supponiamo invece che $F$ sia perfetto e che per assurdo non valga la tesi. Sia allora $b in\ F-F^p$. Considero $f=x^p-b in\ F[x]$. Ora dovrei mostrare che è irriducibile. Come posso fare? Grazie
Salve a tutti,
ho il seguente esercizio, per favore mi date un aiuto per la sua risoluzione corretta?
Verifica di regole di algebra nei gruppi:
devo verificare che la regola [tex](ab)^{2} = a^{2}b^{2}[/tex] sia valida in ogni gruppo G, o dare un controesempio per mostrare che è falso in alcuni gruppi.
Non se è corretto, il seguente è il procedimento che ho intrapreso:
Ho considerato come gruppo di esempio = {-1, 0, 1, 2, 3}
come tabella operazionale ho considerato la seguente:
(i ...
Salve ragazzi
Ho un dubbietto su questo esercizio.
Esercizio. Siano $n,m$ interi $\ge 2$ e sia $\phi : ZZ_12\to ZZ_m \times ZZ_n$ tale che $[x]_12\mapsto ([x]_m,[x]_n)$. Quante sono le coppie $(m,n)$ per le quali $\phi$ risulta ben definita?
Mah...Supponiamo che $\phi$ sia ben definita. Allora $\forall x,y\in ZZ$ devo avere che
\[[x]_{12}=[y]_{12}\implies ([x]_{m},[x]_{n})=([y]_{m},[y]_{n})\]
da cui deduco che $m|(x-y)$ e $n|(x-y)$. Ciò equivale a dire ...
Ciao a tutti, sto affrontando questo esercizio di Algebra e ho l'impressione di perdermi in un bicchier d'acqua, dunque chiedo il vostro aiuto. Viene richiesto, per prima cosa, di trovare i polinomi irriducibili di grado 1 e 2 nel campo Z/2Z, e fin qui nessun problema.
Si richiede poi di trovare i polinomi irriducibili di grado 4, sempre in Z/2Z, utilizzando il risultato precedente: qui ho l'impressione che mi sfugga il punto. Ho provato a elencare i polinomi di grado 4 che sono prodotti di ...
Buonasera ragazzi,
vi propongo il seguente esercizio.
Esercizio. Si consideri in \(\mathbb{Z}[x]\) il polinomio \(f(x)=x^4-3x^3+3x^2-3x+2\) e sia \(g(x)\in \mathbb{Z}_3[x]\) il polinomio ottenuto da \(f(x)\) riducendone i coefficienti modulo \(3\).
[*:3nswz9z4] Si scrivano le decomposizioni in fattori irriducibili di \(f(x)\) in \(\mathbb{Q}[x]\) e di \(g(x)\) in \(\mathbb{Z}_3[x]\);[/*:m:3nswz9z4]
[*:3nswz9z4] si dica se l'anello \(B : = \mathbb{Z}_3[x] / g(x)\) è un campo e se ne determini ...
Salve, sto facendo degli esercizi sulle divisioni tra polinomi con metodo normale e con ruffini, questa però non riesco a farla, mi nasce anche il dubbio circa l'ordinamento decrescente rispetto alla variabile perchè noto ad es. che ci sono dei termini che pur non essendo simili hanno lo stesso grado rispetto a x o y.
Come si fa in questi casi? E' possibile farla anche col metodo di ruffini dato che il divisore è di 1° grado?
l'operazione è la seguente:
$(x^3-3x^2y+3xy^2-2x-2y^3-3y^2+y+1) : (x-2y-1)$
In generale so che vale car(Zn x Zm)=mcm(n,m). Per dimostrarlo ho pensato di considerare il morfismo da Z a Zn x Zm che manda n in ([n],[n]) e far vedere che il Ker è l'ideale (d) dove d è il mcm(n,m). avrei quindi che Zn x Zm contiene un sottoanelli isomorfo a Zd e quindi la caratteristica è d.
Ora: è facile provare che se x sta in (d) allora x sta nel Ker del morfismo ma non riesco a dimostrare il contrario (ossia che se x sta nel Ker allora x sta in (d)) in modo da ottenere le due inclusioni ...
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