Epimorfismo $f : A\le M_2(ZZ)\to ZZ_{26}$

[Plepp]

Salve ragazzi,
ho un dubbietto riguardo il seguente esercizio.

Esercizio. Sia
\[A:=\left\{
\begin{pmatrix}
a & b\\
-b& a
\end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{Z})\,
\Bigg|\,
a,b\in \mathbb{Z}\right\}
\]
Verificare che l'applicazione $f : A\to ZZ_{26}$ definita da
\[
\begin{pmatrix}
a & b\\
-b& a
\end{pmatrix}
\mapsto [a-5b]_{26}\]
è un epimorfismo di anelli.

E' semplice mostrare che $f$ è un omomorfismo di anelli (so già che $A\le M_2(ZZ)$). Devo far vedere che $f$ è suriettiva, ovvero che comunque fisso $[z]\in ZZ_{26}$ esiste una matrice $m\in A$ tale che $[z]=f(m)$, il che equivale a dire che fissato $[z]\in ZZ_{26}$ esistono $a,b\in ZZ$ tali che $[z]=[a-5b]$. Inoltre
\[[z]=[a-5b]\iff z\equiv a-5b\ (\text{mod}\ 26) \iff 26\, |\,(z-a+5b)\iff \exists q\in \mathbb{Z}: z-a+5b=q\cdot 26\tag{P}\]
A questo punto, mi è sufficiente dire che basta scegliere $a=z$ e $b=0$ affinchè $(\text{P})$ sia vera? Mi sembra un po' ebete

Grazie in anticipo

PS: Già che ci siamo mi si chiede anche di determinare il nucleo di $f$. Procedo così:
\[\begin{split}
A\ni m=
\begin{pmatrix}
a & b\\
-b& a
\end{pmatrix}
\in \ker f
&
\iff f\begin{pmatrix}
a & b\\
-b& a
\end{pmatrix} = [0]\iff [a-5b]=[0]\iff [a]=[5b]\iff a\equiv 5b (\text{mod}\ 26) \iff\\
&\iff \exists k\in \mathbb{Z}: a=26k+5b
\end{split}\]
Dunque
\[\ker f=\left\{\begin{pmatrix}
a & b\\
-b& a
\end{pmatrix}\in A\,\Bigg|\, \exists k\in\mathbb{Z}\,:\, a=26k+5b \right\}\]
Giusto?

[Kashaman]

Per il Kernel, sembra tutto ok. Per mostrare la surgettività di quell'epimorfismo potresti ragionare in questi termini.

Sai che $Imf ={ [a-5b]_26 | a,b \in ZZ}$. Per una caratterizzazione degli Epimorfismi di anelli sai che $\phi : A -> A'$ dove $A e A'$ sono anelli , è un epimorfismo $<=> Im\phi = A'$.
Dunque visto che nel nostro caso $A' = ZZ_26$ e $Im\phi= { [a-5b]_26 | a,b \in ZZ} $ , ciò che devi provare è l'uguaglianza insiemistica $A' = Im\phi$
Che $Im\phi sube A' $ è ovvia. In quanto sai già che $Im\phi$ è un sottoanello di $A'$, in quanto $\phi$ è un omomorfismo.
Lascio a te l'ardua impresa di provare che $A' sube Im\phi$.

[Plepp]

Mi pare di averlo fatto, no? Insomma, ho mostrato che
\[\text{Im} f=f(A)=f\left(\left\{\begin{pmatrix}
a & 0\\
0& a
\end{pmatrix}\in A\,\Bigg|\, a\in\{0,\dots,25\} \right\}\right)=\{[a]_{26}\in \mathbb{Z}_{26}\, |\, a\in\{0,\dots, 25\}\}\equiv \mathbb{Z}_{26}\]