Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Ecco il mio primo post
Siano A e B due insiemi finiti.
Si consideri l'insieme F = {f | f : A -> B } , che è l'insieme di tutte le funzioni possibili da A in B.
Qual è la cardinalità di F? Dimostrarlo.
(scrivendo |A| si intende la cardinalità di A)
Buon giorno a tutti,
non sono sicuro se la soluzione di questa domanda a risposta multipla riguardo gli insiemi sia giusta.
Siano dati gli insiemi A e B tali che $A sub B$ e $A != B$.
a) $x in A => x in B$
b) $x in A iff x in B$
c) $x in B => x in A$
d) $x notin A => x notin B$
All'inizio ho ipotizzato sia la b).
Quello che mi spiazza è che $A != B$ quindi con questa ipotesi escluderei le prime 3 soluzioni.
Ma anche l'ultima on mi convince poichè se appunto ...
Buongiorno e buona domenica a tutti.
Volevo proporre un esercizio che ha come argomento gruppi e omomorfismi di gruppi.
L'esercizio dice:
Sia G un gruppo, $|G|=21$. Supponiamo inoltre che esista $\phi: G \to ZZ_7$ non banale. Mostrare che G ha un unico sottogruppo normale di ordine 3.
Un primo tentativo che ho fatto (ma che sapevo non avrebbe funzionato dato che non utilizzavo l'informazione su l'omomorf) è stato quello di vedere se il numero dei 3-sottogruppi di Sylow fosse ...
Uso lo stesso topic per chiedere lumi intorno ad un paio di esercizi. Ho cambiato un po' il titolo.
Esercizio. Sia \(\displaystyle S_{6} \) il gruppo delle permutazioni su sei oggetti.
1. Determinare il centralizzante in \(\displaystyle S_{6} \) della permutazione \(\displaystyle \sigma=(1 \; 2 \; 3 \; 4 \; 6) \)
Allora: in \(\displaystyle S_{n} \) due elementi sono coniugati se hanno la stessa struttura ciclica. Quindi, nel mio caso, tutti i cicli che tengono fisso un punto sono coniugati di ...
Utilizzare la riduzione per righe per dimostrare che le matrici elementari del primo tipo (ossia della forma $I+ae_(ij)$ con $i\ne j, a \in RR$) generano $SL_{n}(RR)$ (gruppo delle matrici reali $n xx n$ con determinante uno).
Ora, a me sembra che tramite quelle matrici si possa generare qualsiasi altra, al contempo mantenendo il determinante pari a 1 (essendo tutte matrici elementari). Però non riesco a trovare il modo per esprimere la cosa in termini formali.
Buonasera, avrei qualche problema sulle relazioni di equivalenza.
Se io ho $A=NN$ ed $E$ la relazione binaria su $A$ definita da:
$aEb$ sse 5 divide sia $a$ che $b$ OPPURE 5 non divide nè $a$ nè $b$.
Devo dimostrare che $E$ è una relazione di equivalenza.
Avrei bisogno di qualche aiuto per "ingranare".
Grazie mille.
Ciao a tutti,
sto avendo difficolta' a risolvere un esercizio di teoria dei numeri, che credo sia particolarmente facile.
Ecco cosa dice:
Sia $ x = (x_1, ... x_n) $ una base per una estensione separabile L/K. Sia $ x^{\star} = (x_1^{\star}, ..., x_n^{\star}) $ la base duale della precedente (ossia con la proprieta' che $ Tr(x_ix_j^{\star}) = \delta_{ij} $). Dimostrare che $ \Delta(x)\Delta(x^{\star}) = 1 $.
Vorrei evitare di coinvolgere i K-embedding per esprimere la traccia, quindi ho detto: $\Delta(x) = \det (Tr(x_ix_j))_{i,j=1}^n$ quindi,
$ \Delta(x)\Delta(x^{\star}) = \det (Tr(x_i x_j))(Tr(x_i^{\star} x_j^{\star})) $.
Mi piacerebbe che ...
Ciao a tutti! E' da tanto che non frequento questo forum, oggi ho ripreso perché devo preparare l'esame di matematica discreta e ho alcune difficoltà circa alcuni argomenti e, visto che in passato sono stata aiutata grazie a questo forum, posterò i miei dubbi ancora una volta! La mia difficoltà riguarda i gruppi ciclici, generatori e periodi di un gruppo... pur avendo letto diversi libri di matematica che parlano di questi argomenti, non riesco a capirli..forse perché non avendo esempi pratici ...
Salve,
desidero risolvere un problema di calcolo combinatorio ma non riesco a trovare una dimostrazione.
Di seguito espongo il problema:
------------------------------------------------------
Si consideri un insieme di n=2 elementi :
W={0,1}
desidero trovare tutti i raggruppamenti ordinati di classe fissata \(\displaystyle k \ge 0 \) (con eventuali ripetizioni) in cui l'elemento 0 compare m-volte.
esempio: k=4 e m=2
0110 0101 0011
1010 1001
1100
so già che la soluzione è il ...
Buon giorno, spero di aver azzeccato la sezione giusta
L'altro giorno per sfizio personale guardavo gli insiemi che sono l'argomento che non sono mai riustito a capire fino in fondo...
ho trovato egli esercizi che non trovo spiegati nei libri.
Il primo è trovale la differenza A/B e quella B/A e il prodotto cartesiano $(A\capB) \times (A/B)$
dove A={1,3,4,5} e b={1,3,5,6,9}
l'unica cosa che mi riesce è trovare l'intersezione tra §A e B ma le moltiplicazioni e divisioni con insieme con si fanno? ...
ragazzi, come si risolve ?!?
Non ho proprio idea , so solo che vengono utilizzate le classi di equivalenza
[edit pardon nella traccia gl'ultimi due punti sono uguali. Errore mio di modifica all'immagine]
iniettiva ?
$ f(x_1) = f(x_2) => (2 * x_1 - 3)/5 = (2 * x_2 - 3)/5$ moltiplico entrambi i membri $ * 5$ ed elimino la frazione.
Quindi : $ 2 * x_1 -3 = 2 * x_2 -3$ a questo punto risulta che $x_1 = x_2$ (anche se non saprei dirlo in maniera formale perchè. Cioè moltiplico e sottraggo per costanti.
risulta Iniettiva.
suriettiva ?
$ t in Q, EE x in Z : f(x) = t => t =f(x) => t = (2*x-3)/5 => 5t = (2*x-3) => $
$2*x = 5t +3 => x = (5t+3)/2$
risulta suriettiva.
Giusto ?!?
Andiamo a fare ...
salve ragazzi ,
$ A uu B = A uu C$ e $ A nn B = A nn C $ allora risulta $ B = C $
posto il mio modo di procedere, non capisco se è sufficiente o meno.
per ipotesi :
$A uu B = A uu C $ e $ A nn B = A nn C $
quindi :
$ x in A uu B = x in A uu C =>$
$x in A $ oppure $ x in B = x in A $ oppure $ x in C =>$
quindi vale anche il contrario :
$x in A $ oppure $ x in C = x in A $ oppure $ x in B$
e
$A nn B = A nn C =>$
$x in A$ e $ x in B$ = ...
1. Sia $E = \mathbb{Q}( \zeta ) $ una estensione semplice, con $\zeta = e^{\frac{2 \pi i}{5}}$. Il gruppo di Galois $G$ dell'estensione \( {}^E/{}_\mathbb{Q}\) è l'insieme degli automorfismi $\varphi : E \rightarrow E$ che lasciano fisso il campo dei razionali. Quindi, se $\varphi \in G$ automorfismo, allora $\varphi_{|QQ} = \text{id}_QQ$. Resta da capire come $\varphi$ agisce su un elemento qualsiasi di $E$.
$u \in E$ $\Rightarrow$ $u = x + \zeta y$ con $x, y \in QQ$ (poiché ...
Buonasera,
sono in crisi su delle possibili espressioni equivalenti a quella dell'iniettività:
a)$AAa in A AAa^{\prime} in A(a=a^{\prime} rarr f(a)=f(a^{\prime}))$ Questa se non sbaglio è la def. di iniettività
b)$AAa in A AAa^{\prime} in A(a!=a^{\prime} rarr f(a)!=f(a^{\prime}))$
c)$AAa in A AAa^{\prime} in A(f(a)=f(a^{\prime}) ^^ a=a^{\prime})$
queste solo le prime 3 poi ce ne sono altre due più complesse...
Sono tutte vere, corretto?
Grazie a tutti.
Nel libro si sostiene che il sottogruppo $aZZ+bZZ$ può essere visto come $dZZ$, con $d$ massimo comun divisore di $a$ e $b$. Subito dopo si fa l'esempio di un $e$, divisore qualsiasi di $d$, per cui si ha pure $aZZ+bZZ=eZZ$. Ma a questo punto non si dovrebbe prendere il minimo comun divisore come generatore, per poter comprendere tutti gli elementi del sottogruppo?
Un grazie a chi mi vorrà dire dove sbaglio in quanto segue.
Partiamo da questo teorema: Sia R un anello commutativo e unitario, siano I,J due ideali di R . Allora R/(I,J)≃(R/I)/(πI(J)) , dove πI è la proiezione naturale nel quoziente.
Poi userò il fatto che Z[X]/(X^2+1))≃Z, e che in tale proiezione π(X)=i.
Da ciò segue (se non sbaglio !) che Z[X]/(X,X^2+1)≃(Z[X]/(X^2+1))/(π(X))≃Z/(i)=Z. Essendo Z integro, ne segue che l'ideale (X,X^2+1) è un ideale primo di Z[X].
Ma questo non è vero, perché ...
Buongiorno,
l'argomento seguente non è stato svolto a lezione, però è possibile che capiti all'esame.
Il problema è il seguente:
Un'affermazione del tipo $P rarr Q$ è equivalente a dimostrare:
a) $P ^^ Q$
b)$\negP rarr \negQ$
c)$\negQ rarr \negP$
b)$\negP vv Q$
Devo dire quali sono vere e false ma non so da che ragionamento partire.
Grazie
Siano $a,b$ elementi di un gruppo $G$. Supponiamo che $a$ abbia ordine 5 e che $a^3b=ba^3$. Dimostrare che $ab=ba$.
Ora, a me sembra che sia possibile risolverlo utilizzando solo l'associatività: si può scrivere $a^2(ab)=(ba)a^2$, quindi dev'essere necessariamente $ab=ba$. Però non mi torna il fatto di poter glissare sull'ordine 5. Dove ho sbagliato?
Salve a tutti!
Dimostrando un teorema mi sono imbattuta nella proprietà seguente, la cui dimostrazione è lasciata per esercizio e che purtroppo non riesco a completare.
Sia $m$ un intero positivo pari e sia $r$ un multiplo di $m$.
Sia inoltre $\varphi(r) \le \varphi(m)$, dove $\varphi$ rappresenta la funzione di Eulero.
Dimostrare che $r = m$.
Utilizzando il fatto che se $m | r$ allora $\varphi(m) |\varphi(r)$ si arriva subito al fatto che ...
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