Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Il prodotto tra due insiemi di numeri, quindi non spostatelo in geometria(al massimo in analisi matematica). La definizione formale è la seguente (a,b)$dot=${{a},{a,b}}; allora perchè nel fare il prodotto di due insiemi è riportato solo il sottoinsieme{a,b}? Mi spiegate questa definizione

Sia $G$ un gruppo abeliano finito di ordine dispari. Dimostrare che l'applicazione $\varphi: G\to G$ definita da $\varphi(x)=x^2$ è un automorfismo di $G$. Ora, che la funzione si comporti come un isomorfismo è evidente. Ma non riesco a dimostrare che sia biettiva.

Sia $G=<a>$ un gruppo ciclico di ordine $r$. Allora i suoi sottogruppi sono gli $<a^d>$ con $d\NN$ e $d|r$ Per provarlo considero $H$ sottogruppo di $G$. $H$ deve contenere almeno l'unita' dunque non e' vuoto. Allora $1=a^r\inH$ e posso considerare $d$ il minimo degli interi positivi $n$ tali che $a^n\inH$. Devo mostrare che ...

Mi si chiede di descrivere tutti gli omomorfismi dal gruppo degli interi rispetto all'addizione a sé stesso. Ho pensato alle funzioni del tipo $\varphi(a)=ka, k in ZZ$, ma non mi sembra tutti gli omomorfismi siano compresi...

Ecco il mio primo post Siano A e B due insiemi finiti. Si consideri l'insieme F = {f | f : A -> B } , che è l'insieme di tutte le funzioni possibili da A in B. Qual è la cardinalità di F? Dimostrarlo. (scrivendo |A| si intende la cardinalità di A)

Buon giorno a tutti, non sono sicuro se la soluzione di questa domanda a risposta multipla riguardo gli insiemi sia giusta. Siano dati gli insiemi A e B tali che $A sub B$ e $A != B$. a) $x in A => x in B$ b) $x in A iff x in B$ c) $x in B => x in A$ d) $x notin A => x notin B$ All'inizio ho ipotizzato sia la b). Quello che mi spiazza è che $A != B$ quindi con questa ipotesi escluderei le prime 3 soluzioni. Ma anche l'ultima on mi convince poichè se appunto ...

Buongiorno e buona domenica a tutti. Volevo proporre un esercizio che ha come argomento gruppi e omomorfismi di gruppi. L'esercizio dice: Sia G un gruppo, $|G|=21$. Supponiamo inoltre che esista $\phi: G \to ZZ_7$ non banale. Mostrare che G ha un unico sottogruppo normale di ordine 3. Un primo tentativo che ho fatto (ma che sapevo non avrebbe funzionato dato che non utilizzavo l'informazione su l'omomorf) è stato quello di vedere se il numero dei 3-sottogruppi di Sylow fosse ...

Uso lo stesso topic per chiedere lumi intorno ad un paio di esercizi. Ho cambiato un po' il titolo. Esercizio. Sia \(\displaystyle S_{6} \) il gruppo delle permutazioni su sei oggetti. 1. Determinare il centralizzante in \(\displaystyle S_{6} \) della permutazione \(\displaystyle \sigma=(1 \; 2 \; 3 \; 4 \; 6) \) Allora: in \(\displaystyle S_{n} \) due elementi sono coniugati se hanno la stessa struttura ciclica. Quindi, nel mio caso, tutti i cicli che tengono fisso un punto sono coniugati di ...

Utilizzare la riduzione per righe per dimostrare che le matrici elementari del primo tipo (ossia della forma $I+ae_(ij)$ con $i\ne j, a \in RR$) generano $SL_{n}(RR)$ (gruppo delle matrici reali $n xx n$ con determinante uno). Ora, a me sembra che tramite quelle matrici si possa generare qualsiasi altra, al contempo mantenendo il determinante pari a 1 (essendo tutte matrici elementari). Però non riesco a trovare il modo per esprimere la cosa in termini formali.

Buonasera, avrei qualche problema sulle relazioni di equivalenza. Se io ho $A=NN$ ed $E$ la relazione binaria su $A$ definita da: $aEb$ sse 5 divide sia $a$ che $b$ OPPURE 5 non divide nè $a$ nè $b$. Devo dimostrare che $E$ è una relazione di equivalenza. Avrei bisogno di qualche aiuto per "ingranare". Grazie mille.

Ciao a tutti, sto avendo difficolta' a risolvere un esercizio di teoria dei numeri, che credo sia particolarmente facile. Ecco cosa dice: Sia $ x = (x_1, ... x_n) $ una base per una estensione separabile L/K. Sia $ x^{\star} = (x_1^{\star}, ..., x_n^{\star}) $ la base duale della precedente (ossia con la proprieta' che $ Tr(x_ix_j^{\star}) = \delta_{ij} $). Dimostrare che $ \Delta(x)\Delta(x^{\star}) = 1 $. Vorrei evitare di coinvolgere i K-embedding per esprimere la traccia, quindi ho detto: $\Delta(x) = \det (Tr(x_ix_j))_{i,j=1}^n$ quindi, $ \Delta(x)\Delta(x^{\star}) = \det (Tr(x_i x_j))(Tr(x_i^{\star} x_j^{\star})) $. Mi piacerebbe che ...

Ciao a tutti! E' da tanto che non frequento questo forum, oggi ho ripreso perché devo preparare l'esame di matematica discreta e ho alcune difficoltà circa alcuni argomenti e, visto che in passato sono stata aiutata grazie a questo forum, posterò i miei dubbi ancora una volta! La mia difficoltà riguarda i gruppi ciclici, generatori e periodi di un gruppo... pur avendo letto diversi libri di matematica che parlano di questi argomenti, non riesco a capirli..forse perché non avendo esempi pratici ...

Salve, desidero risolvere un problema di calcolo combinatorio ma non riesco a trovare una dimostrazione. Di seguito espongo il problema: ------------------------------------------------------ Si consideri un insieme di n=2 elementi : W={0,1} desidero trovare tutti i raggruppamenti ordinati di classe fissata \(\displaystyle k \ge 0 \) (con eventuali ripetizioni) in cui l'elemento 0 compare m-volte. esempio: k=4 e m=2 0110 0101 0011 1010 1001 1100 so già che la soluzione è il ...

Buon giorno, spero di aver azzeccato la sezione giusta L'altro giorno per sfizio personale guardavo gli insiemi che sono l'argomento che non sono mai riustito a capire fino in fondo... ho trovato egli esercizi che non trovo spiegati nei libri. Il primo è trovale la differenza A/B e quella B/A e il prodotto cartesiano $(A\capB) \times (A/B)$ dove A={1,3,4,5} e b={1,3,5,6,9} l'unica cosa che mi riesce è trovare l'intersezione tra §A e B ma le moltiplicazioni e divisioni con insieme con si fanno? ...

ragazzi, come si risolve ?!? Non ho proprio idea , so solo che vengono utilizzate le classi di equivalenza

[edit pardon nella traccia gl'ultimi due punti sono uguali. Errore mio di modifica all'immagine] iniettiva ? $ f(x_1) = f(x_2) => (2 * x_1 - 3)/5 = (2 * x_2 - 3)/5$ moltiplico entrambi i membri $ * 5$ ed elimino la frazione. Quindi : $ 2 * x_1 -3 = 2 * x_2 -3$ a questo punto risulta che $x_1 = x_2$ (anche se non saprei dirlo in maniera formale perchè. Cioè moltiplico e sottraggo per costanti. risulta Iniettiva. suriettiva ? $ t in Q, EE x in Z : f(x) = t => t =f(x) => t = (2*x-3)/5 => 5t = (2*x-3) => $ $2*x = 5t +3 => x = (5t+3)/2$ risulta suriettiva. Giusto ?!? Andiamo a fare ...

salve ragazzi , $ A uu B = A uu C$ e $ A nn B = A nn C $ allora risulta $ B = C $ posto il mio modo di procedere, non capisco se è sufficiente o meno. per ipotesi : $A uu B = A uu C $ e $ A nn B = A nn C $ quindi : $ x in A uu B = x in A uu C =>$ $x in A $ oppure $ x in B = x in A $ oppure $ x in C =>$ quindi vale anche il contrario : $x in A $ oppure $ x in C = x in A $ oppure $ x in B$ e $A nn B = A nn C =>$ $x in A$ e $ x in B$ = ...

1. Sia $E = \mathbb{Q}( \zeta ) $ una estensione semplice, con $\zeta = e^{\frac{2 \pi i}{5}}$. Il gruppo di Galois $G$ dell'estensione \( {}^E/{}_\mathbb{Q}\) è l'insieme degli automorfismi $\varphi : E \rightarrow E$ che lasciano fisso il campo dei razionali. Quindi, se $\varphi \in G$ automorfismo, allora $\varphi_{|QQ} = \text{id}_QQ$. Resta da capire come $\varphi$ agisce su un elemento qualsiasi di $E$. $u \in E$ $\Rightarrow$ $u = x + \zeta y$ con $x, y \in QQ$ (poiché ...

Buonasera, sono in crisi su delle possibili espressioni equivalenti a quella dell'iniettività: a)$AAa in A AAa^{\prime} in A(a=a^{\prime} rarr f(a)=f(a^{\prime}))$ Questa se non sbaglio è la def. di iniettività b)$AAa in A AAa^{\prime} in A(a!=a^{\prime} rarr f(a)!=f(a^{\prime}))$ c)$AAa in A AAa^{\prime} in A(f(a)=f(a^{\prime}) ^^ a=a^{\prime})$ queste solo le prime 3 poi ce ne sono altre due più complesse... Sono tutte vere, corretto? Grazie a tutti.

Nel libro si sostiene che il sottogruppo $aZZ+bZZ$ può essere visto come $dZZ$, con $d$ massimo comun divisore di $a$ e $b$. Subito dopo si fa l'esempio di un $e$, divisore qualsiasi di $d$, per cui si ha pure $aZZ+bZZ=eZZ$. Ma a questo punto non si dovrebbe prendere il minimo comun divisore come generatore, per poter comprendere tutti gli elementi del sottogruppo?