\(0^0\)

[4mrkv]

Dato un gruppo \(G\) e \(x \in G\), con \(n=1,2,3,...\) definisco \(x^{n}\) come al solito. Vorrei mostrare \(x^{n+k}=x^{n}x^{k}\) con \(n,k=1,2,3..\). Parto da \(n=1\), con \(k=1\) vale \(x^{1+1}=x^{2}=xx=x^{1}x^{1}\). Se vale per \(k\) mostro che vale per \(k+1\): \(x^{1}x^{k+1}=x^{1}x^{1}x^{k}=x^{2}x^{k}=...\) etc... Definisco \(x^{0}=1_{G}\) con \(x \in G\). Se \(G\) è un campo quindi vale anche \(0_{G}^{0}=1_{G}\).

Come faccio ad essere sicuro che la definizione \(x^{0}=1_{G}\) non dia problemi? Voglio dire, è intuitiva dato che così avrei ad es: (giustificando l'introduzione del thread) \(x^{0+n}=x^{0}x^{n}\) però non è chiara lo stesso. E' un dubbio che mi porto dietro dalle serie di potenze e cercando ho trovato link di Luca che fa pur sempre riferimento a degli assiomi.

[vict85]

0 non possiede inversi, quindi quella formula non ha senso.

[4mrkv]

Vero, il gruppo moltiplicativo vale a meno di \(0_{G}\). Si potrebbe comunque definire \(0_{G}^{0}=0\)? Non avrebbe senso \(0_{G}^{-1}\) quindi mancherebbe il nesso logico fra \(0_{G}^{1-1}\) e \(0_{G}0_{G}^{-1}\) per mostrare il non senso di \(0_{G}^{0}\). Per \(x=0\) la proprietà \(x^{n+k}=x^{n}x^{k}\) continuerebbe a valere per \(n,k=1,2,3,...\) ma non varrebbe per potenze negative. Ho trovato link, link.

[vict85]

In realtà può anche essere \(1\): le potenze negativa non hanno senso e \(10 = 0\).

[4mrkv]

Scusa, mi sono sbagliato. Volevo dire che si può comunque definire \(0_{G}^{0}=1_{G}\). Comunque penso di avere afferrato, i link di wikipedia mi chiariscono un po' le idee.