Soluzioni intere equazione

[jJjjJ1]

Allora, ho trovato questo esercizio e non so come risolverlo, magari sparo una super****la.
Determinare quante sono le soluzioni intere positive dell'equazione \(\displaystyle x^x - 2^x - x^2 = 10 \).
Io non so come venirne a capo, l'unica cosa che mi è venuta in mente è questa:
siccome sappiamo che x deve essere intero positivo, possiamo considerare \(\displaystyle p(x) = x^x - x^2 -2^x -10 \) con \(\displaystyle -2^x - 10 intero \). Quindi se esiste una soluzione intera positiva, la forma che assume l'equazione è un polinomio a coefficienti interi. Se esiste una soluzione \(\displaystyle x_k intero >0 \) allora questa divide \(\displaystyle -2^x - 10 \), quindi le possibilità sono: \(\displaystyle 1, 2, 2^x + 10 \) (deve essere positiva). \(\displaystyle P(1) \nvDash 0 P(2) \nvDash 0 \). Allora se una soluzione esiste è per \(\displaystyle x = 2^x + 10 \). Ma ciò è impossibile in quanto se si pone \(\displaystyle y = 2^x e y = x - 10 \) e si tracciano i grafici, essi non si incontrano. Quindi 0 soluzioni intere positive. Non è giusto vero?

[@melia]

No, non lo è perché 3 è soluzione.

[Edex1]

Io ci ho lavorato scomponendolo in:
$x^x - 2^x = x^2 +10$
Il resto lo metto in spoiler almeno se vuoi puoi andare avanti tu

Poi ho studiato gli elementi che mi interessavano delle due funzioni così ottenute.
In primis ho notato che non hanno discontinuità, ma solo la prima ha dominio ristretto: $x>0$, poi ho visto che la prima ha come punto minimo il punto (0,-1) mentre la seconda tende a zero per x che tendo a meno infinito.
A questo punto ho calcolato il limite per x che tende a più infinito di: $x^x/x^2$ e vedendo che vale più infinito ho dedotto che i due grafici delle funzioni si devono incontrare in un punto.
Detto ciò trovare la soluzione è semplice: inserendo dei valori al posto dell'incognita si calcolano i valori delle due funzioni finché non si trova un valore per cui la prima diventa più grande della seconda, da quel momento si restringe l'intervallo fino a trovare il valore cercato, appunto tre.
In pratica ho utilizzato una specie di metodo di bisezione che mi ha permesso di essere molto rapido perché le soluzioni vanno cercate solo fra i valori interi positivi di x. Se per nessun valore intero positivo avessi verificato l'equazione avrei dedotto che la soluzione esisteva, ma che non era intera.
Spero come ragionamento fili

[@melia]

È lo stesso metodo che ho usato io, solo che, anziché descrivere il procedimento, ho indicato che la dimostrazione di jJjjJ era sbagliata.

[Edex1]

Allora la metto in spoiler così se vuole lavorarci ancora può farlo