Iniettività e suriettività di corrispondenze
Salve a tutti 
Spero che questo sia la sezione giusta per parlare di questi argomenti.
Sto studiando il corso di Algebra I, e ho qualche difficoltà a dimostrare che date relazioni sono funzioni/iniezioni/suriezioni/biezioni.
Faccio un esempio pratico, così riesco a farmi capire meglio.
Ho due relazioni, $f_1$ e $f_2$, così definite:
$f_1: QQ ->QQ$, $f_1 (r/s) = ((r+s)/(s^2))$
$f_2: QQ -> QQ$, $f_2 (r/s) = ((r*s)/(r^2+s^2))$
L'esercizio chiede di studiare le corrispondenze, ovvero di dire se le corrispondenze sono ovunque definite, funzionali, iniettive, suriettive.
Ora.. nel caso 1 f evidentemente non è una funzione perchè non è una relazione funzionale. Infatti, $f_1(1/2) != f_1(2/4)$, e dato che $1/2 = 2/4$, esiste almeno 1 elemento del dominio che ammette più di una immagine.
Diciamo che finchè si tratta di trovare questi controesempi me la cavo, ma ad esempio, pur avendo intuito che $f_2$ è una funzione, non riesco a dimostrarlo. Come posso dimostrare che ogni elemento di $QQ$ ammette una sola immagine? E ugualmente, come posso dimostrare che le relazioni sono (o non sono) iniettive/suriettive? Si tratta di dimostrare rispettivamente che ogni elemento del codominio ammette al più una controimmagine e che ogni elemento del codomonio ammette almeno una controimmagine, ma non saprei bene come farlo.
Spero che questo sia la sezione giusta per parlare di questi argomenti.
Sto studiando il corso di Algebra I, e ho qualche difficoltà a dimostrare che date relazioni sono funzioni/iniezioni/suriezioni/biezioni.
Faccio un esempio pratico, così riesco a farmi capire meglio.
Ho due relazioni, $f_1$ e $f_2$, così definite:
$f_1: QQ ->QQ$, $f_1 (r/s) = ((r+s)/(s^2))$
$f_2: QQ -> QQ$, $f_2 (r/s) = ((r*s)/(r^2+s^2))$
L'esercizio chiede di studiare le corrispondenze, ovvero di dire se le corrispondenze sono ovunque definite, funzionali, iniettive, suriettive.
Ora.. nel caso 1 f evidentemente non è una funzione perchè non è una relazione funzionale. Infatti, $f_1(1/2) != f_1(2/4)$, e dato che $1/2 = 2/4$, esiste almeno 1 elemento del dominio che ammette più di una immagine.
Diciamo che finchè si tratta di trovare questi controesempi me la cavo, ma ad esempio, pur avendo intuito che $f_2$ è una funzione, non riesco a dimostrarlo. Come posso dimostrare che ogni elemento di $QQ$ ammette una sola immagine? E ugualmente, come posso dimostrare che le relazioni sono (o non sono) iniettive/suriettive? Si tratta di dimostrare rispettivamente che ogni elemento del codominio ammette al più una controimmagine e che ogni elemento del codomonio ammette almeno una controimmagine, ma non saprei bene come farlo.
Risposte
Il numero razionale $r/s$ è la classe di equivalenza delle frazioni del tipo $(nr)/(ns)$ con $n in ZZ_0$
$f((nr)/(ns))=(nr*ns)/((nr)^2+(ns)^2)=$ applicando le proprietà associativa, commutativa e distributiva
$=(n^2*r*s)/(n^2(r^2+s^2))=(r*s)/(r^2+s^2)$
Non è iniettiva perché $f(r/s)=f(s/r)$, non è suriettiva perché $1$ non ha controimmagine.
$f((nr)/(ns))=(nr*ns)/((nr)^2+(ns)^2)=$ applicando le proprietà associativa, commutativa e distributiva
$=(n^2*r*s)/(n^2(r^2+s^2))=(r*s)/(r^2+s^2)$
Non è iniettiva perché $f(r/s)=f(s/r)$, non è suriettiva perché $1$ non ha controimmagine.
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