Gruppo generato da due permutazioni
Salve, ho provato a utilizzare il tasto cerca, ma senza risultati, probabilmente perchè ciò di cui ho bisogno (gruppi generati), si scrive perlopiù in simboli.
Vado al dunque:
dato il gruppo simmetrico $S_5$, voglio determinare tutti gli elementi del sottogruppo generato dagli elementi $a=(12)$ e $b=(14)(25)$.
La soluzione che mi viene data è $G={ id , (12) , (45) , (14)(25) , (12)(45) , (15)(24) , (1425) , (1524) }$. Non capisco il perchè.
$a=(12)$ , $b=(14)(25)$ , $a^2=b^2=id$ , $ab=(1425)$ , $ba=(1524)$ sono intuibili, ma gli altri?? Grazie anticipatamente.
Vado al dunque:
dato il gruppo simmetrico $S_5$, voglio determinare tutti gli elementi del sottogruppo generato dagli elementi $a=(12)$ e $b=(14)(25)$.
La soluzione che mi viene data è $G={ id , (12) , (45) , (14)(25) , (12)(45) , (15)(24) , (1425) , (1524) }$. Non capisco il perchè.
$a=(12)$ , $b=(14)(25)$ , $a^2=b^2=id$ , $ab=(1425)$ , $ba=(1524)$ sono intuibili, ma gli altri?? Grazie anticipatamente.
Risposte
Per esempio mi pare tu non abbia considerato \(aba\) e \(bab\); dopodiché dovrei incominciare a scorgere delle regolarità.
"Delirium":
Per esempio mi pare tu non abbia considerato \( aba \) e \( bab \)
perchè dovrei considerarli?? il gruppo è generato da $a$ e $b$, non dai suoi prodotti... sto trascurando qualcosa??
"Delirium":
dopodiché dovrei incominciare a scorgere delle regolarità.
questa frase non l'ho capita
"Cesc89":
[quote="Delirium"]Per esempio mi pare tu non abbia considerato \( aba \) e \( bab \)
perchè dovrei considerarli?? il gruppo è generato da $a$ e $b$, non dai suoi prodotti... sto trascurando qualcosa?? [...][/quote]
Sì: la definizione di gruppo. Se \(G\) gruppo, \(a, b \in G\) allora \(ab \in G\), ma anche \(bab \in G\).
"Cesc89":
[...] questa frase non l'ho capita
Intendevo dire che se poi provi a calcolare per esempio \(abab\), dovresti ottenere un elemento che già possiedi.
ok ora mi è tutto davvero più chiaro, l'unico dubbio che mi rimane è: quando finisce questa "costruzione di elementi" ??
ovvero io potrei scrivere $abababababab...ab$ una decina di volte... ma penso di avere già la risposta, ovvero quando si ottiene l'id. Confermi?
ovvero io potrei scrivere $abababababab...ab$ una decina di volte... ma penso di avere già la risposta, ovvero quando si ottiene l'id. Confermi?
In questo esercizio stiamo parlando di sottogruppi ciclici giusto?
In generale quando si parla di elementi che generano (generatori?) un sottogruppo si parla sempre di sottogruppi ciclici?
Scusate se la domanda è banale, ma è giusto per avere più chiarezza.
Grazie
In generale quando si parla di elementi che generano (generatori?) un sottogruppo si parla sempre di sottogruppi ciclici?
Scusate se la domanda è banale, ma è giusto per avere più chiarezza.
Grazie
"chris9191":
In questo esercizio stiamo parlando di sottogruppi ciclici giusto?
In generale quando si parla di elementi che generano (generatori?) un sottogruppo si parla sempre di sottogruppi ciclici?
Scusate se la domanda è banale, ma è giusto per avere più chiarezza.
Grazie
in parole poco matematiche
:un sottogruppo ciclico è un sottogruppo generato da un solo elemento $a$ che (tramite le sue potenze) genera i restanti elementi, ovvero $a$ , $a^2$ , $a^3$ , ... fino a quando non trovi $n$ $in$ $NN$ tale che $a^n$ $=$ $e$, con $e$ elemento neutro.
in questo topic si parla di G generato da più elementi (quindi non è ciclico)
"Cesc89":
ok ora mi è tutto davvero più chiaro, l'unico dubbio che mi rimane è: quando finisce questa "costruzione di elementi" ??
ovvero io potrei scrivere $abababababab...ab$ una decina di volte... ma penso di avere già la risposta, ovvero quando si ottiene l'id. Confermi?
Sì. Per quanto mi riguarda, quando i conti sono "esigui", bisogna affidarsi un po' a quelli ed un po' all'intuizione. Ulteriori limitazioni sono sull'ordine, in accordo con il teorema di Lagrange.
"chris9191":
In questo esercizio stiamo parlando di sottogruppi ciclici giusto? [...]
No: un (sotto)gruppo ciclico è generato da un solo elemento, mentre qui abbiamo due generatori.
Grazie ad entrambi per la delucidazione.
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