Anelli, ideali e insiemi queoziente

[Pierlu11]

Chiedo aiuto per l'imminente esame di Algebra... il problema più grande è come trattare insiemi "quozientati" con ideali (ad esempio $ (ZZ[X])/((5,X-2)) $ , $ (ZZ)/((2+i)) $ ecc...).
Vorrei sapere se è possibile trovare delle dispense guida su come stabilire se sono campi, U.F.D, P.I.D., ecc... o se sono finiti o infiniti...
Trovo meno difficoltà nel cercare isomorfismi con campi del tipo $ ZZ_p $ ( $ p $ primo) ma vorrei avere una gamma di possibilità più ampia per risolvere questi esercizi, anche perché spesso non è così immediato...
Infatti vi chiedo anche aiuto per il seguente esercizio:
"Dimostra che $ (ZZ[X])/((5,X-2)) $ è un campo di cinque elementi"
... penso che in questo caso bisogna necessariamente costruire un isomorfismo con $ ZZ_5 $ ma non riesco a trovarlo...

[Sk_Anonymous]

"Pierlu11":[...]
"Dimostra che $ (ZZ[X])/((5,X-2)) $ è un campo di cinque elementi"
... penso che in questo caso bisogna necessariamente costruire un isomorfismo con $ ZZ_5 $ ma non riesco a trovarlo...

Gli elementi di quell'ideale, cioè \((5,X-2)\), sono del tipo \(5p(X) + (X-2)q(X)\) ove \(p(X), q(X) \in \mathbb{Z}[X]\); personalmente, la prima domanda che mi pongo è la seguente: dato \(a \in \mathbb{Z}[X]/(5,X-2)\), ovvero \(a=f(X) + (5, X-2)\), qual è il grado massimo di \(f(X)\)? Nella fattispecie, vedi perché in questo caso \(\partial(f) < 1\)?
Da qui si può sviluppare qualcosa di sensato...

Per stabilire la natura di quei quozienti spesso si ricorre alla caratterizzazione di campi e domini di integrità (i.e. \(R\) anello commutativo con unità, \(I\) ideale di \(R\); allora \(I\) massimale sse \(R/I\) campo etc...)

In ultimo segnalo questo, di Martino.