Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Ciao a tutti, sto studiando Algebra e mi stanno sorgendo piccoli dubbi sulle strutture algebriche... di seguito riporto qualche domanda che mi sto ponendo nella speranza che possiate aiutarmi...
1) Posso definire la funzione "potenza" ( $ a^0=1_X,a^n=a^(n+1)** a $ ) solo se esiste un'unità relativa a $ ** $ ?
2) C'è una differenza tra anelli euclidei e domini euclidei o è solo una questione di nomenclatura (cioè anello euclideo $ rArr $ dominio)?
3) La definizione di anello ...
Come faccio a dimostrare che due gruppi sono o non sono isomorfi? Cioè indipendentemente dai casi specifici, da cosa mi conviene cominciare?
1) Ordine dei gruppi
2) Generatori? Se sì, cosa devo verificare dei generatori e perchè?
3)....?
Salve qualcuno potrebbe dimostrarmi passaggio per passaggio queste due proprietá??
$ A\\ (Buu C)=(A\\ B)nn (A\\ C) $
$ A\\ (Bnn C)=(A\\ B)uu (A\\ C) $
Nel libro non é chiarissima e alcuni passaggi sembrano contraddittori.
Grazie in anticipo.
Salve.. Avrei bisogno di una mano per un esercizio di università.. Ieri non son potuto andare e ho perso la spiegazione, e anche se mi son fatto passare gli appunti e ho capito la teoria, ho qualche problema a trasformala in pratica!
L'esercizio dice: "Elencare le funzioni iniettive da 2 a 3. Contare quante sono."
E sotto, come inizio dell'esercizio, il professore ci dà:
0 |-> 2, 1 |->1
0 |-> 0, 1 |-> 2
...
Sono in totale ...
Per quanto ho capito, 2 e 3 sono il numero ti etichette che ci ...
In alcuni libri ho notato che un sistema ridotto di residui è un sottoinsieme di un sistema completo di residui tale che gli elementi sono primi con n. Tale sottoinsieme, modulo n, viene indicato con $S^{*}= \{ k_{1}, \cdots , k_{\varphi(n)} \}$ Però se indico con $S=\{k_1, \cdots, k_{n} \}$ il sistema completo dei residui, il $\varphi(n)$ nell'indice di $S^{*}$ cosa indica?
Se seguo la mia interpretazione ottengo:
Modulo 10: $S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}$ $S^{*}= \{1,2,3,4 \}$ essendo $\varphi(10)=4$. Però in realtà secondo ...
Salve a tutti,
stavo cercando di dimostrare la catena di disequazioni:
$x^p + y^p <= (x+y)^p <= 2^(p-1)(x^p + y^p)$
$AA x >= 0, y >= 0, p > 1$
qualcuno può dirmi se ho dimostrato il tutto in modo corretto?
Partiamo dalla prima: $x^p + y^p <= (x+y)^p$
Verifico il passo base: per $x = 0, y = 0, p = 1$ abbiamo $ 0 <= 0$ quindi è verificata.
Procedo per induzione:
$x^p + y ^p <= (x+y)^p rarr (x^p + y^p) cdot (x+y) <= (x+y)^(p+1)$
Il primo termine però è:
$x^(p+1) + y^(p+1) + yx^p + xy^p >= x^(p+1) + y^(p+1) rarr x^(p+1) + y^(p+1) <= (x+y)^(p+1)$
Ed è quindi verificato il passo induttivo.
Passiamo ora alla seconda $(x+y)^p <= 2^(p-1)(x^p + y^p)$
Verifico il passo base: ...
Sia $G$ gruppo con $|G|=2p$. $P<=G$ sottogruppo normale di $G$, $Q<=G$ sottogruppo di $G$, con $|P|=p$, con $p$ numero primo dispari e $|Q|=2$. Adesso sia a $a$ un generatore di $P$, sia $b$ il generatore di $Q$.
Allora $bab^(-1) in P$ da questo segue che $bab^(-1)=a^(i)$ con $i in {1,...,p-1}$
(fin qui è chiaro, adesso un ...
Ciao Ragazzi...ho un problema stupidissimo ma che non riesco a risolvere ( e questo presume che io sia stupido ) ma non riesco a trovare soluzione.
Ovvero il prof. ci ha chiesto di trovare tutte le funzioni che ci sono tra 2={0, 1} e 0= $\varphi$
Ma essendo l'immagine l'insieme vuoto e possibile che ci siano funzioni???
Mi sono perso...
Mikele
Ciao a tutti! Trovo nell'enunciato del secondo teorema di isomorfismo, o primo in certi autori come il mio Bosch, il gruppo quoziente scritto \(HN/N\), che direi essere l'insieme di tutte le classi laterali $aN$ tali che $a\in HN$, cioè tale che $a=hn$ per qualche $h\in N$ e $n\in N$.
Tale insieme non coincide con \(H/N\)? Mi sembrerebbe che, se $a$ è il prodotto $hn$ come sopra chiamati questi elementi, allora \(aN=hnN=hN \in ...
Ciao, amici! Dopo essere stato sveglio fino a tarda notte ed aver passato la mattinata a cercare di dimostrare il seguente fatto, provo a chiedere qui, sperando che qualcuno abbia pietà di un autodidatta alle prime armi con l'algebra...
Sia $G$ un gruppo contenente il sottogruppo normale $N$ soddisfacente la proprietà di massimalità: se $H\subset G$ è un sottogruppo e $N\subset H$ allora $H=G$ oppure $H=N$. Voglio dimostrare che due ...
L'esercizio è il seguente:
Negare la frase: "Gianni e Marco hanno i capelli neri"
scegliendo come proposizioni :
p:= "Gianni ha i capelli neri"
q:="Marco ha i capelli neri"
Ottengo la seguente tabella di verità (N-->capelli neri ; B->capelli non neri)
$ | ( p , q , p^^q , neg(p^^q) ),( N , N , N , B ),( B , N,B , N ),( N , B , B , N ),( B , B , B , N ) | $
Non so se è corretto, in ogni caso come posso poi ricavare la mia frase negata? Grazie in anticipo.
Ciao a tutti ragazzi, una domandina di cui non conosco la risposta.
Sia $G$ un gruppo e siano $P$ e $Q$ due sottogruppi di Sylow rispettivamente un $p$-Sylow ed un $q$-Sylow con $p!=q$.
Quando $PnnQ= {1_G}$ e quando $PnnQ!={1_G} $?
(nel secondo caso intendiamo che hanno un intersezione non banale.)
Non ho idea della risposta, io direi che la loro intersezione è sempre e solo l' unità, ma non riesco a ...
Ciao, amici! Sono di nuovo qui... Trovo sul mio testo di algebra, nella dimostrazione del primo teorema di isomorfismo*, l'espressione dell'applicazione\[H\hookrightarrow HN\]che, composta con la proiezione canonica \(\pi:HN\to HN/N\), un omorfismo suriettivo di gruppi \(H\to HN/N\) che induce un isomorfismo canonico \(H/H\cap N\to HN/N\).
Credo che \(\hookrightarrow\) rappresenti in generale un'applicazione suriettiva, ma che cosa può essere quel \(H\hookrightarrow HN\)? È l'inclusione \(H\to HN,\text{ ...
Una relazione tra insiemi è un sottoinsieme $ R $ del prodotto cartesiano.
Prodotto cartesiano: $ A X B := {(a,b) : a in A, b in B } $
Relazione tra insiemi: $ R sube A X B $
Due insiemi sono in relazione tra loro se $ (a,b) in R $ e si scrive $aRb$, se $A = B$ si scrive $ aRa$ (o $bRb$) e la relazione si dice su o in $A$ (o su o in $B$).
Quindi il prodotto cartesiano è una relazione tra insiemi ?
Che differenza c'è tra ...
Ciao, amici! Trovo sul mio testo di algebra che, date le classi laterali sinistre $aH$ e $bH$ di $H$ in $G$ vale\[aH=bH\iff aH\cap bH\ne\emptyset\iff a\in bH\iff b^{-1}a\in H\]Mi pare di essere riuscito a dimostrare, in modo del tutto analogo a quanto fatto nel mio testo per le implicazioni relative alle classi laterali sinistre, che per le classi laterali destre vale\[Ha=Hb\iff Ha\cap Hb\ne\emptyset\iff a\in Hb\iff ab^{-1}\in H\]
Qualcuno ...
Ciao a tutti! Una domanda sulla notazione...
Solitamente trovo il quantificatore $\forall$ prima della proposizione cui si riferisce, per esempio
\(\forall \mathbf{x}\in\mathbb{C},\text{ }\|\mathbf{x}\|\geq 0\).
È scorretto scriverlo dopo, per esempio
*\(\|\mathbf{x}\|\geq 0\text{ }\forall \mathbf{x}\in\mathbb{C}\)?
$\infty$ a tutti!!!
Dato un campo $ F $ con caratteristica $ p $, devo trovare due $ F[G]$- moduli che abbiano lo stesso carattere, ma che non siano isomorfi.
L'avere lo stesso carattere equivale a dire che hanno rappresentazioni equivalenti, ovvero esiste $ \sigma $ trasformazione lineare fra i due moduli in questione tale che $ \forall g \in G$ $ \sigma \rho(g)=\rho'(g) \sigma$, dove $ \rho $ e $ \rho' $ sono le due rappresentazioni, ma non riesco a tradurre praticamente ...
Buongiorno ragazzi, vi disturbo ancora con un altro esercizio che non riesco a concludere. Ho una permutazione:
σ=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13)
...(3,4,5,2,1,11,8,9,13,10,12,7,6)
La scrivo come prodotto di cicli disgiuti (e fin qui ci sono): (1,3,5)(2,4)(6,11,12,7,8,9,13) e il 10 lo fissa. Trovo l'ordine: mcm(3,2,7)=42, infatti σ^42=1. Riscrivo σ come prodotto di trasposizioni non per forza disgiunte e ottengo 9 scambi, ovvero σ è dispari in quanto ha segno -1. Poi mi si chiede per quali ...
Buonasera a tutti, vi posto un esercizio con cui sto avendo parecchi problemi, se qualcuno potesse aiutarmi gliene sarei davvero grata!
Sia G un gruppo di ordine 65 e sia g € G. E' vero che se g^21=1G, allora g=1G? Giustificare la risposta.
Grazie a tutti!
Io inizierei con il trovare Div(65)=5*13.
Farei [g]={1,g,g2,g3,g4,g5,...,g64} Quindi trovo tutti gli elementi di G espressi come potenze di g.
So che MDC(21,65)=1, quindi [g21]=G, ma da qui non so proprio continuare.
Conosco il teorema ...
Buonasera ragazzi, ho un problema con questo esercizio:
In Fp[x], p numero primo, si consideri l'ideale I = (x^3-x^2+x+13, x^3+x)
Si determinino i valori di p per cui:
(1) I e un ideale proprio;
(2) I e un ideale massimale;
(3) I e un ideale primo.
Suggerimento: si ricorda che risulta I = [M.C.D. (x^3-x^2+x+13, x^3+x)]. Per calcolare il M.C.D si utilizzi l'algoritmo delle divisioni successive. Per la prima divisione si riguardino i polinomi come polinomi a coefficienti interi, riducendo poi ...
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