Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Salve a tutti! Stavo provando a dimostrare che $root(2)(n)$ è razionale se e solo se n è quadrato perfetto. Mi potreste dire se l'ho fatto nel modo corretto? (1) Dimostro che $root(2)(n)$ è intero se e solo se n è quadrato perfetto. $n = \alpha_1^(p_1) cdot \alpha_2^(p_2) cdot \alpha_3^(p_3) ... \alpha_n^(p_n)$ Dove gli $\alpha_n$ sono tutti primi. Ora: $root(2)(n) = (\alpha_1^(p_1) cdot \alpha_2^(p_2) cdot \alpha_3^(p_3) ... \alpha_n^(p_n))^(1/2) = \alpha_1^((p_1)/2) cdot \alpha_2^((p_2)/2) cdot \alpha_3^((p_3)/2) ... \alpha_n^((p_n)/2)$ Sappiamo che, essendo gli $\alpha$ primi, $root(2)(\alpha_n^(p_n)) = (alpha_n)^z$ con $z in NN$. Quindi $\alpha_n^(p_n) = \alpha_n^(2z)$. Deve cioè essere $p_n = 2z$ e cioè ...

Salve a tutti ragazzi! Non so se questa sia la sezione giusto per la mia domanda, spero di sì Mi stavo chiedendo: ogni volta che dimostriamo un teorema per assurdo, esiste un metodo equivalente di dimostrazione diretto? Oppure ci sono alcune dimostrazioni che non c'è verso di farle senza passare per l'assurdo? Non so se la mia sia una domanda stupida o meno, ma ringrazio anticipatamente chiunque sprecherà un po' del suo tempo per rispondermi. Buona serata a tutti

Perchè l'insieme vuoto è contenuto nell'insieme vuoto? Il simbolo di ''contenuto'' non presuppone logicamente che gli insieme abbiano elementi? Quando dico è contenuto, sto dicendo che tutti gli elementi (ma allora questi elementi devono esserci!) del vuoto appartengono al vuoto. È come se dicessi non è vero che il Re di Francia è morto quando non esiste il Re di Francia.

Ciao, amici! Sto cercando di dimostrare* che il sottoanello dei polinomi \(\{\sum a_i X^i\in R[X]:a_1=0\}\) è un sottoanello di $R[X]$ isomorfo a \(R[X][Y]/(X^2-Y^3)\) dove direi che \((X^2-Y^3)\) è l'ideale appartenente all'anello $R[X][Y]$ dei polinomi in due indeterminate $X$ e $Y$ generato da $X^2-Y^3$. Ho pensato al teorema di omomorfismo e al fatto che, se trovassi un omomorfismo suriettivo \(R[X][Y]\) con nucleo \((X^2-Y^3)\), potrei ...

Ciao a tutti, è un po' che ci penso ma non riesco a trovare una soluzioni alle seguenti due domande... 1) C'è un legame tra l'aritmetica e la teoria delle strutture algebriche? Ad esempio so che l'equazione $ n+2=4 $ ha soluzioni ma non riesco a giustificarlo tenendo conto della struttura di monoide che ha $ (NN,+) $ ... 2) $ RR $ è un campo ma mi sembra impossibile parlare di primi, fattorizzazione unica, divisione euclidea tra numeri reali...

Ciao, amici! Mi sto arrovellando da tutto il giorno su una condizione necessaria e sufficiente espressa nel mio testo di algebra, il Bosch (qui nella dimostrazione del lemma 9), affinché un ideale \(\mathfrak{m}\subset R\) sia massimale è che \(\forall a\in R\setminus\mathfrak{m} \quad Ra+\mathfrak{m}=R\), ovvero che \(\forall a\in R\setminus\mathfrak{m} \quad \exists r\in R,m\in\mathfrak{m}:ra+m=1\). L'equivalenza\[\forall a\in R\setminus\mathfrak{m} \quad Ra+\mathfrak{m}=R\iff\forall a\in ...

Un Polinomio non identicamente nullo soddisfa la relazione : P(P(x))=P(2x+1)+p(2x+3) trovare il valore di p(5) Non so da dove partire in problemi del genere, mi spiegate il ragionamento?

Ciao a tutti, sto studiando Algebra e mi stanno sorgendo piccoli dubbi sulle strutture algebriche... di seguito riporto qualche domanda che mi sto ponendo nella speranza che possiate aiutarmi... 1) Posso definire la funzione "potenza" ( $ a^0=1_X,a^n=a^(n+1)** a $ ) solo se esiste un'unità relativa a $ ** $ ? 2) C'è una differenza tra anelli euclidei e domini euclidei o è solo una questione di nomenclatura (cioè anello euclideo $ rArr $ dominio)? 3) La definizione di anello ...

Come faccio a dimostrare che due gruppi sono o non sono isomorfi? Cioè indipendentemente dai casi specifici, da cosa mi conviene cominciare? 1) Ordine dei gruppi 2) Generatori? Se sì, cosa devo verificare dei generatori e perchè? 3)....?

Salve qualcuno potrebbe dimostrarmi passaggio per passaggio queste due proprietá?? $ A\\ (Buu C)=(A\\ B)nn (A\\ C) $ $ A\\ (Bnn C)=(A\\ B)uu (A\\ C) $ Nel libro non é chiarissima e alcuni passaggi sembrano contraddittori. Grazie in anticipo.

Salve.. Avrei bisogno di una mano per un esercizio di università.. Ieri non son potuto andare e ho perso la spiegazione, e anche se mi son fatto passare gli appunti e ho capito la teoria, ho qualche problema a trasformala in pratica! L'esercizio dice: "Elencare le funzioni iniettive da 2 a 3. Contare quante sono." E sotto, come inizio dell'esercizio, il professore ci dà: 0 |-> 2, 1 |->1 0 |-> 0, 1 |-> 2 ... Sono in totale ... Per quanto ho capito, 2 e 3 sono il numero ti etichette che ci ...

In alcuni libri ho notato che un sistema ridotto di residui è un sottoinsieme di un sistema completo di residui tale che gli elementi sono primi con n. Tale sottoinsieme, modulo n, viene indicato con $S^{*}= \{ k_{1}, \cdots , k_{\varphi(n)} \}$ Però se indico con $S=\{k_1, \cdots, k_{n} \}$ il sistema completo dei residui, il $\varphi(n)$ nell'indice di $S^{*}$ cosa indica? Se seguo la mia interpretazione ottengo: Modulo 10: $S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}$ $S^{*}= \{1,2,3,4 \}$ essendo $\varphi(10)=4$. Però in realtà secondo ...

Salve a tutti, stavo cercando di dimostrare la catena di disequazioni: $x^p + y^p <= (x+y)^p <= 2^(p-1)(x^p + y^p)$ $AA x >= 0, y >= 0, p > 1$ qualcuno può dirmi se ho dimostrato il tutto in modo corretto? Partiamo dalla prima: $x^p + y^p <= (x+y)^p$ Verifico il passo base: per $x = 0, y = 0, p = 1$ abbiamo $ 0 <= 0$ quindi è verificata. Procedo per induzione: $x^p + y ^p <= (x+y)^p rarr (x^p + y^p) cdot (x+y) <= (x+y)^(p+1)$ Il primo termine però è: $x^(p+1) + y^(p+1) + yx^p + xy^p >= x^(p+1) + y^(p+1) rarr x^(p+1) + y^(p+1) <= (x+y)^(p+1)$ Ed è quindi verificato il passo induttivo. Passiamo ora alla seconda $(x+y)^p <= 2^(p-1)(x^p + y^p)$ Verifico il passo base: ...

Sia $G$ gruppo con $|G|=2p$. $P<=G$ sottogruppo normale di $G$, $Q<=G$ sottogruppo di $G$, con $|P|=p$, con $p$ numero primo dispari e $|Q|=2$. Adesso sia a $a$ un generatore di $P$, sia $b$ il generatore di $Q$. Allora $bab^(-1) in P$ da questo segue che $bab^(-1)=a^(i)$ con $i in {1,...,p-1}$ (fin qui è chiaro, adesso un ...

Ciao Ragazzi...ho un problema stupidissimo ma che non riesco a risolvere ( e questo presume che io sia stupido ) ma non riesco a trovare soluzione. Ovvero il prof. ci ha chiesto di trovare tutte le funzioni che ci sono tra 2={0, 1} e 0= $\varphi$ Ma essendo l'immagine l'insieme vuoto e possibile che ci siano funzioni??? Mi sono perso... Mikele

Ciao a tutti! Trovo nell'enunciato del secondo teorema di isomorfismo, o primo in certi autori come il mio Bosch, il gruppo quoziente scritto \(HN/N\), che direi essere l'insieme di tutte le classi laterali $aN$ tali che $a\in HN$, cioè tale che $a=hn$ per qualche $h\in N$ e $n\in N$. Tale insieme non coincide con \(H/N\)? Mi sembrerebbe che, se $a$ è il prodotto $hn$ come sopra chiamati questi elementi, allora \(aN=hnN=hN \in ...

Ciao, amici! Dopo essere stato sveglio fino a tarda notte ed aver passato la mattinata a cercare di dimostrare il seguente fatto, provo a chiedere qui, sperando che qualcuno abbia pietà di un autodidatta alle prime armi con l'algebra... Sia $G$ un gruppo contenente il sottogruppo normale $N$ soddisfacente la proprietà di massimalità: se $H\subset G$ è un sottogruppo e $N\subset H$ allora $H=G$ oppure $H=N$. Voglio dimostrare che due ...

L'esercizio è il seguente: Negare la frase: "Gianni e Marco hanno i capelli neri" scegliendo come proposizioni : p:= "Gianni ha i capelli neri" q:="Marco ha i capelli neri" Ottengo la seguente tabella di verità (N-->capelli neri ; B->capelli non neri) $ | ( p , q , p^^q , neg(p^^q) ),( N , N , N , B ),( B , N,B , N ),( N , B , B , N ),( B , B , B , N ) | $ Non so se è corretto, in ogni caso come posso poi ricavare la mia frase negata? Grazie in anticipo.

Ciao a tutti ragazzi, una domandina di cui non conosco la risposta. Sia $G$ un gruppo e siano $P$ e $Q$ due sottogruppi di Sylow rispettivamente un $p$-Sylow ed un $q$-Sylow con $p!=q$. Quando $PnnQ={1_G}$ e quando $PnnQ!={1_G}$? (nel secondo caso intendiamo che hanno un intersezione non banale.) Non ho idea della risposta, io direi che la loro intersezione è sempre e solo l' unità, ma non riesco a ...

Ciao, amici! Sono di nuovo qui... Trovo sul mio testo di algebra, nella dimostrazione del primo teorema di isomorfismo*, l'espressione dell'applicazione\[H\hookrightarrow HN\]che, composta con la proiezione canonica \(\pi:HN\to HN/N\), un omorfismo suriettivo di gruppi \(H\to HN/N\) che induce un isomorfismo canonico \(H/H\cap N\to HN/N\). Credo che \(\hookrightarrow\) rappresenti in generale un'applicazione suriettiva, ma che cosa può essere quel \(H\hookrightarrow HN\)? È l'inclusione \(H\to HN,\text{ ...