Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Ciao, amici! Sto cercando di dimostrare* che il sottoanello dei polinomi \(\{\sum a_i X^i\in R[X]:a_1=0\}\) è un sottoanello di $R[X]$ isomorfo a \(R[X][Y]/(X^2-Y^3)\) dove direi che \((X^2-Y^3)\) è l'ideale appartenente all'anello $R[X][Y]$ dei polinomi in due indeterminate $X$ e $Y$ generato da $X^2-Y^3$. Ho pensato al teorema di omomorfismo e al fatto che, se trovassi un omomorfismo suriettivo \(R[X][Y]\) con nucleo \((X^2-Y^3)\), potrei ...

Ciao a tutti, è un po' che ci penso ma non riesco a trovare una soluzioni alle seguenti due domande... 1) C'è un legame tra l'aritmetica e la teoria delle strutture algebriche? Ad esempio so che l'equazione $ n+2=4 $ ha soluzioni ma non riesco a giustificarlo tenendo conto della struttura di monoide che ha $ (NN,+) $ ... 2) $ RR $ è un campo ma mi sembra impossibile parlare di primi, fattorizzazione unica, divisione euclidea tra numeri reali...

Ciao, amici! Mi sto arrovellando da tutto il giorno su una condizione necessaria e sufficiente espressa nel mio testo di algebra, il Bosch (qui nella dimostrazione del lemma 9), affinché un ideale \(\mathfrak{m}\subset R\) sia massimale è che \(\forall a\in R\setminus\mathfrak{m} \quad Ra+\mathfrak{m}=R\), ovvero che \(\forall a\in R\setminus\mathfrak{m} \quad \exists r\in R,m\in\mathfrak{m}:ra+m=1\). L'equivalenza\[\forall a\in R\setminus\mathfrak{m} \quad Ra+\mathfrak{m}=R\iff\forall a\in ...

Un Polinomio non identicamente nullo soddisfa la relazione : P(P(x))=P(2x+1)+p(2x+3) trovare il valore di p(5) Non so da dove partire in problemi del genere, mi spiegate il ragionamento?

Ciao a tutti, sto studiando Algebra e mi stanno sorgendo piccoli dubbi sulle strutture algebriche... di seguito riporto qualche domanda che mi sto ponendo nella speranza che possiate aiutarmi... 1) Posso definire la funzione "potenza" ( $ a^0=1_X,a^n=a^(n+1)** a $ ) solo se esiste un'unità relativa a $ ** $ ? 2) C'è una differenza tra anelli euclidei e domini euclidei o è solo una questione di nomenclatura (cioè anello euclideo $ rArr $ dominio)? 3) La definizione di anello ...

Come faccio a dimostrare che due gruppi sono o non sono isomorfi? Cioè indipendentemente dai casi specifici, da cosa mi conviene cominciare? 1) Ordine dei gruppi 2) Generatori? Se sì, cosa devo verificare dei generatori e perchè? 3)....?

Salve qualcuno potrebbe dimostrarmi passaggio per passaggio queste due proprietá?? $ A\\ (Buu C)=(A\\ B)nn (A\\ C) $ $ A\\ (Bnn C)=(A\\ B)uu (A\\ C) $ Nel libro non é chiarissima e alcuni passaggi sembrano contraddittori. Grazie in anticipo.

Salve.. Avrei bisogno di una mano per un esercizio di università.. Ieri non son potuto andare e ho perso la spiegazione, e anche se mi son fatto passare gli appunti e ho capito la teoria, ho qualche problema a trasformala in pratica! L'esercizio dice: "Elencare le funzioni iniettive da 2 a 3. Contare quante sono." E sotto, come inizio dell'esercizio, il professore ci dà: 0 |-> 2, 1 |->1 0 |-> 0, 1 |-> 2 ... Sono in totale ... Per quanto ho capito, 2 e 3 sono il numero ti etichette che ci ...

In alcuni libri ho notato che un sistema ridotto di residui è un sottoinsieme di un sistema completo di residui tale che gli elementi sono primi con n. Tale sottoinsieme, modulo n, viene indicato con $S^{*}= \{ k_{1}, \cdots , k_{\varphi(n)} \}$ Però se indico con $S=\{k_1, \cdots, k_{n} \}$ il sistema completo dei residui, il $\varphi(n)$ nell'indice di $S^{*}$ cosa indica? Se seguo la mia interpretazione ottengo: Modulo 10: $S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}$ $S^{*}= \{1,2,3,4 \}$ essendo $\varphi(10)=4$. Però in realtà secondo ...

Salve a tutti, stavo cercando di dimostrare la catena di disequazioni: $x^p + y^p <= (x+y)^p <= 2^(p-1)(x^p + y^p)$ $AA x >= 0, y >= 0, p > 1$ qualcuno può dirmi se ho dimostrato il tutto in modo corretto? Partiamo dalla prima: $x^p + y^p <= (x+y)^p$ Verifico il passo base: per $x = 0, y = 0, p = 1$ abbiamo $ 0 <= 0$ quindi è verificata. Procedo per induzione: $x^p + y ^p <= (x+y)^p rarr (x^p + y^p) cdot (x+y) <= (x+y)^(p+1)$ Il primo termine però è: $x^(p+1) + y^(p+1) + yx^p + xy^p >= x^(p+1) + y^(p+1) rarr x^(p+1) + y^(p+1) <= (x+y)^(p+1)$ Ed è quindi verificato il passo induttivo. Passiamo ora alla seconda $(x+y)^p <= 2^(p-1)(x^p + y^p)$ Verifico il passo base: ...

Sia $G$ gruppo con $|G|=2p$. $P<=G$ sottogruppo normale di $G$, $Q<=G$ sottogruppo di $G$, con $|P|=p$, con $p$ numero primo dispari e $|Q|=2$. Adesso sia a $a$ un generatore di $P$, sia $b$ il generatore di $Q$. Allora $bab^(-1) in P$ da questo segue che $bab^(-1)=a^(i)$ con $i in {1,...,p-1}$ (fin qui è chiaro, adesso un ...

Ciao Ragazzi...ho un problema stupidissimo ma che non riesco a risolvere ( e questo presume che io sia stupido ) ma non riesco a trovare soluzione. Ovvero il prof. ci ha chiesto di trovare tutte le funzioni che ci sono tra 2={0, 1} e 0= $\varphi$ Ma essendo l'immagine l'insieme vuoto e possibile che ci siano funzioni??? Mi sono perso... Mikele

Ciao a tutti! Trovo nell'enunciato del secondo teorema di isomorfismo, o primo in certi autori come il mio Bosch, il gruppo quoziente scritto \(HN/N\), che direi essere l'insieme di tutte le classi laterali $aN$ tali che $a\in HN$, cioè tale che $a=hn$ per qualche $h\in N$ e $n\in N$. Tale insieme non coincide con \(H/N\)? Mi sembrerebbe che, se $a$ è il prodotto $hn$ come sopra chiamati questi elementi, allora \(aN=hnN=hN \in ...

Ciao, amici! Dopo essere stato sveglio fino a tarda notte ed aver passato la mattinata a cercare di dimostrare il seguente fatto, provo a chiedere qui, sperando che qualcuno abbia pietà di un autodidatta alle prime armi con l'algebra... Sia $G$ un gruppo contenente il sottogruppo normale $N$ soddisfacente la proprietà di massimalità: se $H\subset G$ è un sottogruppo e $N\subset H$ allora $H=G$ oppure $H=N$. Voglio dimostrare che due ...

L'esercizio è il seguente: Negare la frase: "Gianni e Marco hanno i capelli neri" scegliendo come proposizioni : p:= "Gianni ha i capelli neri" q:="Marco ha i capelli neri" Ottengo la seguente tabella di verità (N-->capelli neri ; B->capelli non neri) $ | ( p , q , p^^q , neg(p^^q) ),( N , N , N , B ),( B , N,B , N ),( N , B , B , N ),( B , B , B , N ) | $ Non so se è corretto, in ogni caso come posso poi ricavare la mia frase negata? Grazie in anticipo.

Ciao a tutti ragazzi, una domandina di cui non conosco la risposta. Sia $G$ un gruppo e siano $P$ e $Q$ due sottogruppi di Sylow rispettivamente un $p$-Sylow ed un $q$-Sylow con $p!=q$. Quando $PnnQ={1_G}$ e quando $PnnQ!={1_G}$? (nel secondo caso intendiamo che hanno un intersezione non banale.) Non ho idea della risposta, io direi che la loro intersezione è sempre e solo l' unità, ma non riesco a ...

Ciao, amici! Sono di nuovo qui... Trovo sul mio testo di algebra, nella dimostrazione del primo teorema di isomorfismo*, l'espressione dell'applicazione\[H\hookrightarrow HN\]che, composta con la proiezione canonica \(\pi:HN\to HN/N\), un omorfismo suriettivo di gruppi \(H\to HN/N\) che induce un isomorfismo canonico \(H/H\cap N\to HN/N\). Credo che \(\hookrightarrow\) rappresenti in generale un'applicazione suriettiva, ma che cosa può essere quel \(H\hookrightarrow HN\)? È l'inclusione \(H\to HN,\text{ ...

Una relazione tra insiemi è un sottoinsieme $ R $ del prodotto cartesiano. Prodotto cartesiano: $ A X B := {(a,b) : a in A, b in B } $ Relazione tra insiemi: $ R sube A X B $ Due insiemi sono in relazione tra loro se $ (a,b) in R $ e si scrive $aRb$, se $A = B$ si scrive $ aRa$ (o $bRb$) e la relazione si dice su o in $A$ (o su o in $B$). Quindi il prodotto cartesiano è una relazione tra insiemi ? Che differenza c'è tra ...

Ciao, amici! Trovo sul mio testo di algebra che, date le classi laterali sinistre $aH$ e $bH$ di $H$ in $G$ vale\[aH=bH\iff aH\cap bH\ne\emptyset\iff a\in bH\iff b^{-1}a\in H\]Mi pare di essere riuscito a dimostrare, in modo del tutto analogo a quanto fatto nel mio testo per le implicazioni relative alle classi laterali sinistre, che per le classi laterali destre vale\[Ha=Hb\iff Ha\cap Hb\ne\emptyset\iff a\in Hb\iff ab^{-1}\in H\] Qualcuno ...

Ciao a tutti! Una domanda sulla notazione... Solitamente trovo il quantificatore $\forall$ prima della proposizione cui si riferisce, per esempio \(\forall \mathbf{x}\in\mathbb{C},\text{ }\|\mathbf{x}\|\geq 0\). È scorretto scriverlo dopo, per esempio *\(\|\mathbf{x}\|\geq 0\text{ }\forall \mathbf{x}\in\mathbb{C}\)? $\infty$ a tutti!!!