Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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stabilire se esistono radici non banali del polinomio \(\displaystyle x^5-1 \) in \(\displaystyle F_{16} \)
In caso di risposta positiva, determinarle.
Inizio con l'osservare che il gruppo moltiplicativo di \(\displaystyle F_{16} \), che denoto con \(\displaystyle F_{16}* \), è ciclico e ha ordine 15.
Sia a un generatore di \(\displaystyle F_{16}* \), allora \(\displaystyle a
^{15}=1 \).
Se esiste una radice b di \(\displaystyle x^5-1 \) in \(\displaystyle F_{16} \), questa deve essere tale ...
Mi e' venuta in mente una cosa probabilmente banale, ma per cui non ho trovato fonti.
Nella definizione di limite diretto/inverso, qui e qui le corrispondenti pagine di wiki, per definizione si vuole che l'insieme degli indici sia diretto.
Ma e' davvero necessario?
Esempio. Proviamo a fare un limite inverso di gruppi su un insieme che non e' un insieme diretto. Sia $D'$ un insieme diretto e sia $D = D' \cup \{p \}$ dove $p$ e' un nuovo ...
ciao a tutti, ho il seguente esercizio in cui devo usare l'induzione ma sinceramente non so dove mettere le mani:
"Si dimostri mediante induzione l'asserto seguente: per ogni n>4 è vera la disuguaglianza $ 2^n>n^2$"
Vi ringrazio molto per l'attenzione
Buonasera ho bisogno di un aiuto per quanto riguarda una dimostrazione per assurdo, lasciato dalla prof a lezione.
L'esercizio era dimostrare per assurdo che [tex]\sqrt{2}[/tex] è un numero irrazionale
Comincio negando la tesi, quindi affermo che
[tex]\sqrt{2}[/tex] è un numero razionale, dato che [tex]\sqrt{2}[/tex] è razionale, allora
[tex]\exists m,n \, \, appartenenti a\, \, \mathbb{Z} /\sqrt{2}=\frac{m}{n}[/tex]
quindi continuo così:
[tex]\sqrt{2}=\frac{m}{n}[/tex] allora ...
Ciao, amici! Rieccomi... Nella dimostrazione del lemma per cui per ogni gruppo finito $H$ di esponente un $d$ che divide $n\in\mathbb{N}-\{0\}$ esiste un isomorfismo di gruppi \(H\simeq \text{Hom}(H,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\) trovo utilizzato un omomorfismo\[\mathbb{Z}\to\text{Hom}(\mathbb{Z}/d\mathbb{Z},\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}),\quad\quad 1\mapsto\text{id} \]che, dice il Bosch, è chiaramente [evidentemente l'autore del mio testo sopravvavaluta uno dei suoi lettori (me)] un ...
Ciao ragazzi,
qualcuno mi potrebbe spiegare il "significato" del gruppo quoziente? Al di la della definizione formale, vorrei capire qual è l'idea o l'intuizione che ha portato alla definizione del gruppo quoziente e come posso "visualizzarlo" rapidamente nella mia mente.
Non so se la richiesta è chiara, quindi faccio un esempio per spiegarmi meglio: prendiamo in considerazione gli omomorfismi. Attraverso un omomorfismo noi possiamo "collegare concettualmente" due gruppi diversi (che si ...
C'è qualcosa che non mi convince nel teorema 7.8 che enuncia la seguente tesi:
Se \(S\) e \(H\) sono due sottogruppi di \(G\), allora \(S \cup H\) non è sottogruppi di \(G\), tranne nel caso in cui \(H \subseteq S\) oppure \(S \subseteq H\).
Qualcono riuscirebbe ad spiegarmelo?
Salve a tutti,
complimenti per il forum, vi seguo da tanto e sono riscito a chiarire un bel po' di dubbi grazie a voi.
Ultimamente sono alle prese con un piccolo esercizio che ho trovato anche qui (postato dall'utente valeee93) ma a cui nessuno ha risposto (ed io non ho idea di come fare).
L'esercizio è : "Trovare i sottogruppi di ordine 3 e quelli di ordine 5 nel gruppo S4."
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie infinite.
Salve a tutti!
Non so se questa è la sezione più adatta per il problema che sto per porre, sicché mi scuso in anticipo in caso abbia sbagliato.
Dunque, credo di non afferrato correttamente il concetto di assioma.
Per quello che mi risulta, un assioma è una proposizione assunta vera a priori, in quanto non derivabile da alcun altra proposizione.
Mi chiedo allora, in generale cosa si intende per "soddisfare un assioma" ?
Se un assioma è una proposizione vera a priori non ha senso verificare ...
Ho ripreso quel libro e ho cominciato a svolgere tutti gli esercizi, se qualcuno può controllare le soluzioni di alcuni gliene sarei molto grato(ma non troppo )
1. Se \(G\) è un gruppo nel quale \((ab)^i = a^i b^i\) per tre interi \(i\) consecutivi e per ogni coppia di elementi \(a, b \in G\) allora \(G\) è abeliano.
Sia \((ab)^i = P\), sappiamo che \(aPb = a^{i+1}b^{i+1} = (ab)^{i+1} = (ab)P\) dunque cancellando la \(a\) si ottiene \(Pb = bP\) ovvero \(P \in Z(G)\).
Infine \((ab)P(ab) = ...
Ciao a tutti!!
Qualcuno potrebbe darmi la definizione di sottogruppo massimale di un gruppo. In pratica ho il seguente risultato:
Se \(\displaystyle G \) è un gruppo d'ordine \(\displaystyle p^a q^b \) con \(\displaystyle p,q \) primi distinti e \(\displaystyle a,b \) interi, allora \(\displaystyle G \) è risolubile.
Si prova per induzione su \(\displaystyle |G| \).
- Se \(\displaystyle |G|= 1\), banale.
- Se \(\displaystyle |G|>1 \), consideriamo il sottogruppo normale \(\displaystyle N ...
Ciao, amici! Voglio dimostrare che il gruppo \((\mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z})^{\ast}\) delle unità di \(\mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z}\) con $p$ primo dispari e $r>0$ è ciclico.
Il mio testo suggerisce preliminarmente di dimostrare che il nucleo dell'omomorfismo canonico \((\mathbb{Z}/p^r\mathbb{Z})^{\ast}\to(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\ast}\) è un gruppo ciclico osservando che $1+p$ ha ordine $p^{r-1}$ in $W$. A me sembra che il nucleo ...
Ciao!
Dovrebbe essere un risultato noto, ma non riesco a pescarlo.
Sia [tex]k[/tex] un intero positivo. Scrivo [tex]\mathbb{N} = \{1,2,3,\ldots\}[/tex]. E' vero che l'equazione
[tex]\frac{1}{X_1} + \cdots + \frac{1}{X_k} = 1[/tex]
ha un numero finito di soluzioni [tex](X_1,\ldots,X_k) \in \mathbb{N}^k[/tex]?
In altre parole e' vero che l'insieme [tex]\{(X_1,\ldots,X_k) \in \mathbb{N}^k\ :\ \sum_{i=1}^k \frac{1}{X_i} = 1\}[/tex] e' finito?
Martino
6
Studente Anonimo
23 ott 2013, 17:44
Ciao, amici! Non mi piace disturbare per esercizi di natura così "numerica", ma, dato che il mio dubbio riguarda proprio il come procedere nel caso generale di polinomi qualsiasi, torno ancora una volta qui...
Vorrei trovare i gruppi di Galois di questi polinomi
a) $X^3+6X^2+11X+7\in\mathbb{Q}[X]$
b) $X^3+3X^2-1\in\mathbb{Q}[X]$
c) \(X^4-X^2-3\in\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}[X]\)
d) \(X^4+7X^2-3\in\mathbb{Z}/13\mathbb{Z}[X]\)
e so che è necessario imporre che la restrizione di ogni gruppo di Galois alle ...
Ciao, amici! Non riesco proprio a dimostrare che per i polinomi ciclotomici $\Phi_k$ vale, per $n>2$ dispari, l'uguaglianza\[\Phi_{2n}(X)=\Phi_n(-X)\]Cercando informazioni in rete ho scoperto la rappresentazione dell'$n$-esimo polinomio ciclotomico utilizzando l'inversione di Möbius $\prod_{d|n}(X^{n/d}-1)^{\mu(d)}$, ma non riesco ad applicarla a questo caso...
Qualcuno ha qualche idea?
Inoltre volevo chiedere proprio circa l'applicazione dell'inversione di Möbius: il ...
Salve,
sono uno studente di Fisica e studiando Meccanica quantistica si scopre che la teoria dei gruppi ha un importanza fondamentale. A dire la verità è fondamentale anche per la teoria dei campi classici.
Vi vorrei chiedere una curiosità che è sorta incontrando il primo di questi gruppi che di solito si studia: il gruppo delle traslazioni. Un generico elemento del gruppo si può scrivere così:
\(\displaystyle T(\Delta x' \hat{x}) =exp(-\frac{ip \cdot \Delta x' \hat{x}}{\hbar})\)
dove p è un ...
Buonasera e grazie in anticipo per l'attenzione
Sia G un gruppo finito e siano H,K,L sottogruppi di G.
Dimostrare: G=H∪K∪L ===> |G:H|=|G:K|=|G:L|=2
NB: ∪ è ovviamente l'unione gruppale, non l'unione insiemistica.
Avete qualche idea?
Ho un gruppo di ordine 231 e devo dimostrare che l'11-Sylow è contenuto nel centro. In teoria riesco a dimostrare che il gruppo è abeliano, usando però il prodotto diretto tra gruppi ciclici. Non voglio però intraprendere questa strada, qualcuno ha qualche idea? posso dimostrare che il centro è non banale?
Leggo su un testo di logica che una formula ben formata deve racchiudere tra parentesi ogni coppia di formule connesse da un operatore binario come \(\land\) e \(\lor\), sicché \((P\land (Q\land R))\) è corretta, mentre \((P\land Q\land R)\) non lo è. Più informalmente, così come è concesso scrivere \(P\land (Q\land R)\), è consentita, in forma abbreviata, una scrittura del tipo \(P\land Q\land R\)?
Inoltre, mi è capitato di trovare in dimostrazioni matematiche cose del tipo ...
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