Gruppo quoziente

[Saph1]

Ciao ragazzi,

qualcuno mi potrebbe spiegare il "significato" del gruppo quoziente? Al di la della definizione formale, vorrei capire qual è l'idea o l'intuizione che ha portato alla definizione del gruppo quoziente e come posso "visualizzarlo" rapidamente nella mia mente.

Non so se la richiesta è chiara, quindi faccio un esempio per spiegarmi meglio: prendiamo in considerazione gli omomorfismi. Attraverso un omomorfismo noi possiamo "collegare concettualmente" due gruppi diversi (che si basano su due diversi prodotti), in modo che le proprietà del prodotto definito sul primo gruppo rimangano invariate se prendiamo in considerazione prodotto del secondo gruppo.
Quest'idea mi da la possibilità di ragionare rapidamente sugli omomorfismi, potendone intuire alcune proprietà o immaginarne le dimostrazioni. Qualcuno mi sa dare qualche suggerimento che mi permetta di "capire l'idea" dietro il concetto di gruppo quoziente e quindi ragionare velocemente su di esso?

[Kashaman]

L'idea veloce è che sostanzialmente il concetto di gruppo quoziente è legato fortemente al concetto di "omomorfismo".
Questo legame è evidenziato dal teorema fondamentale di isomorfismo che ti dice in poche parole che un gruppo puoi vederlo come "quoziente" di un altro gruppo su di un certo sottogruppo normale. E in molti casi, questo aspetto, è assai utile.
Oppure, per vederne la sua utilità ed importanza, chiediti come è costruito. In poche parole un gruppo quoziente è l'insieme di certe classi di equivalenza (quali?) ed in generale qual è il vantaggio di "partizionare" un insieme in classi di equivalenza?