Densità di R/Q in R

[DR1]

Perché $p/(q sqrt2)$ è irrazionale ?

[Kashaman]

Chi sono $p$ e $q$? :/

[vict85]

Immagino siano numeri interi coprimi.

[DR1]

$p in ZZ $ , $q in NN$

[vict85]

Comunque \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\) è irrazionale perché i numeri razionali sono chiusi per inversione e \(\sqrt{2}\) è un numero irrazionale.

Moltiplicazione un numero razionale (diverso da 0) per un irrazionale è sempre un numero irrazionale. Supponi infatti che si abbia \(\displaystyle \frac{p}{q} x = \frac{r}{s}\) dove \(p,q,r,s \in \mathbb{Z}-\{0\}\) e \(x\) irrazionale, allora si avrebbe \(\displaystyle x = \frac{rq}{sp}\) e quindi x sarebbe un numero razionale contro le ipotesi.

Dove ti eri fermato nel ragionamento?

[DR1]

Cosa vuol dire che i numeri razionali sono chiusi per inversione ?

[Epimenide93]

Che l'inverso di un numero razionale è un numero razionale, ciò deriva dal fatto che $(QQ \setminus {0}, \cdot)$ è un gruppo. Nella dimostrazione è stato usato per dimostrare che $1/\sqrt2$ è irrazionale. Se $1/\sqrt2$ fosse razionale il suo inverso sarebbe razionale, cosa falsa; ovvero: posto $q \in QQ, q = (sqrt(2))^(-1)$ si ha $q \sqrt2 = 1 \Rightarrow \sqrt2 = 1/q \in RR$, assurdo.

[DR1]

Quindi una qualunque operazione che coinvolge un irrazionale, da come risultato un irrazionale ?

[Andrea571]

"DR1":Quindi una qualunque operazione che coinvolge un irrazionale, da come risultato un irrazionale ?

Falso

$(sqrt(2))(sqrt(2))=2$, e $2 in NN$

[DR1]

Intendevo un operazione con numeri razionali e irrazionali;
non con soli irrazionali.