Sylow (gruppo di ordine 231)

[dolce590]

Ho un gruppo di ordine 231 e devo dimostrare che l'11-Sylow è contenuto nel centro. In teoria riesco a dimostrare che il gruppo è abeliano, usando però il prodotto diretto tra gruppi ciclici. Non voglio però intraprendere questa strada, qualcuno ha qualche idea? posso dimostrare che il centro è non banale?

[Studente Anonimo]

Benvenuto nel forum. Vedi qui.

[dolce590]

grazie mille, non avevo pensato di dimostrare che l'11-Sylow commuta con ogni 3-Sylow!!! comunque posso dire direttamente che dato che esiste un sottogruppo di ordine 33 ed esso è ciclico (perchè è della forma: sottogruppo di ordine pq con p

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[Studente Anonimo]

-- Attenzione: per una dimostrazione più breve si veda il mio prossimo intervento. --

Sì, in pratica le osservazioni fondamentali sono quattro:

1. Se [tex]H[/tex] e [tex]K[/tex] sono due sottogruppi di un gruppo finito [tex]G[/tex] e [tex]HK = \{hk\ |\ h \in H,\ k \in K\}[/tex] allora [tex]|HK|=|H| \cdot |K|/|H \cap K|[/tex]. Inoltre [tex]HK \leq G[/tex] se e solo se [tex]HK=KH[/tex], e questo avviene se uno tra [tex]H[/tex] e [tex]K[/tex] e' normale in [tex]G[/tex] (questa condizione e' solo sufficiente).

2. I gruppi di ordine 33 sono ciclici (abeliani basterebbe).

3. Se [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] sono due sottogruppi normali di un gruppo [tex]G[/tex] tali che [tex]A \cap B = \{1\}[/tex] allora [tex]ab=ba[/tex] per ogni [tex]a \in A[/tex], [tex]b \in B[/tex].

4. Se [tex]|G|=231[/tex] allora l'11-Sylow sta dentro al centro se e solo se commuta con tutti i sottogruppi di Sylow.

Una volta dimostrate queste quattro cose non difficili, prendi il tuo [tex]G[/tex] di ordine [tex]231[/tex], chiama [tex]N[/tex] l'11-Sylow, [tex]K[/tex] il 7-Sylow (dopo aver dimostrato che sono unici usando Sylow) e [tex]H[/tex] un 3-Sylow. Siccome N e K sono normali di ordine coprimo, N commuta puntualmente con K per (3). Siccome N e' normale si ha [tex]NH \leq G[/tex] e [tex]|NH|=33[/tex] per (1). Quindi [tex]NH[/tex] e' abeliano per (2), in particolare [tex]N[/tex] commuta puntualmente con [tex]H[/tex]. Quindi abbiamo finito per (4).

Forse l'avevo fatta un po' piu' complicata

[Studente Anonimo]

Anzi, parecchio complicata!

Siccome l'11-Sylow è normale, [tex]G[/tex] contiene esattamente 10 elementi di ordine 11. Sia [tex]x[/tex] un elemento non centrale di ordine 11. Il possibile numero di coniugati di [tex]x[/tex] è 3 oppure 7 (essendo uguale all'indice del centralizzante di [tex]x[/tex] per il principio del conteggio, e non potendo essere 21 perché i coniugati di [tex]x[/tex] hanno tutti ordine 11). Siccome centralizzare [tex]x[/tex] è equivalente a centralizzare una qualsiasi sua potenza non banale (avendo le potenze non banali di [tex]x[/tex] ordine 11), ogni elemento di ordine 11 ha lo stesso numero di coniugati. Assurdo, dato che 10 non è multiplo di 3 né di 7.

[guitar]

Non capisco l'assurdo! Puoi essere più preciso? Grazie

[Studente Anonimo]

Siamo arrivati a dire che gli elementi di ordine 11 hanno tutti lo stesso numero di coniugati. Sia questo numero [tex]m[/tex]. Sia [tex]k[/tex] il numero di classi di coniugio di elementi di ordine 11. Ne segue che ci sono esattamente [tex]mk[/tex] elementi di ordine 11.

Siccome l' 11-Sylow è normale ci sono esattamente 10 elementi di ordine 11, gli elementi diversi da 1 nel 11-Sylow.

Ne segue che [tex]mk=10[/tex], in particolare [tex]m[/tex] divide [tex]10[/tex]. D'altra parte [tex]m[/tex] è uguale all'indice del centralizzante di [tex]x[/tex] (che è un elemento non centrale di ordine 11 per ipotesi), cioè [tex]m = |G:C_G(x)|[/tex]. Siccome [tex]x[/tex] sta in [tex]C_G(x)[/tex], [tex]\langle x \rangle \subseteq C_G(x)[/tex] e quindi [tex]m = |G:C_G(x)|[/tex] divide [tex]|G:\langle x \rangle|=21[/tex].

Quindi [tex]m[/tex] divide [tex]10[/tex] e [tex]21[/tex], quindi [tex]m=1[/tex]. Questo significa che [tex]x[/tex] ha un unico coniugato (che quindi è [tex]x[/tex] stesso) e quindi è centrale. L'assurdo viene dal fatto che avevo supposto [tex]x[/tex] non centrale.