Curiosità su un gruppo incontrato in Meccanica Quantistica
Salve,
sono uno studente di Fisica e studiando Meccanica quantistica si scopre che la teoria dei gruppi ha un importanza fondamentale. A dire la verità è fondamentale anche per la teoria dei campi classici.
Vi vorrei chiedere una curiosità che è sorta incontrando il primo di questi gruppi che di solito si studia: il gruppo delle traslazioni. Un generico elemento del gruppo si può scrivere così:
\(\displaystyle T(\Delta x' \hat{x}) =exp(-\frac{ip \cdot \Delta x' \hat{x}}{\hbar})\)
dove p è un operatore lineare hermitiano, nel senso dell'analisi funzionale (operatore differenziale). Dal punto di vista dell'algebra lineare può essere visto come un endomorfismo, cioè una trasformazione lineare di uno spazio vettoriale complesso in sè.
Le traslazioni sono definite nel classico spazio tridimensionale della fisica.
Veniamo al punto della domanda. Si può far vedere che le traslazioni formano un gruppo abeliano, ma è possibile dimostrare che esiste anche la somma? (scusate se la domanda per voi può essere banale
)
Cioè
\(\displaystyle \exists z: exp(-\frac{ip \cdot \Delta z' \hat{z}}{\hbar})=exp(-\frac{ip \cdot \Delta x' \hat{x}}{\hbar})+exp(-\frac{ip \cdot \Delta y' \hat{y}}{\hbar})\) ?
Per cui in caso affermativo si può introdurre una struttura algebrica con maggiori proprietà di un gruppo?
sono uno studente di Fisica e studiando Meccanica quantistica si scopre che la teoria dei gruppi ha un importanza fondamentale. A dire la verità è fondamentale anche per la teoria dei campi classici.
Vi vorrei chiedere una curiosità che è sorta incontrando il primo di questi gruppi che di solito si studia: il gruppo delle traslazioni. Un generico elemento del gruppo si può scrivere così:
\(\displaystyle T(\Delta x' \hat{x}) =exp(-\frac{ip \cdot \Delta x' \hat{x}}{\hbar})\)
dove p è un operatore lineare hermitiano, nel senso dell'analisi funzionale (operatore differenziale). Dal punto di vista dell'algebra lineare può essere visto come un endomorfismo, cioè una trasformazione lineare di uno spazio vettoriale complesso in sè.
Le traslazioni sono definite nel classico spazio tridimensionale della fisica.
Veniamo al punto della domanda. Si può far vedere che le traslazioni formano un gruppo abeliano, ma è possibile dimostrare che esiste anche la somma? (scusate se la domanda per voi può essere banale
)Cioè
\(\displaystyle \exists z: exp(-\frac{ip \cdot \Delta z' \hat{z}}{\hbar})=exp(-\frac{ip \cdot \Delta x' \hat{x}}{\hbar})+exp(-\frac{ip \cdot \Delta y' \hat{y}}{\hbar})\) ?
Per cui in caso affermativo si può introdurre una struttura algebrica con maggiori proprietà di un gruppo?
Risposte
Provo a dare un paio di idee.
1) fare il logaritmo naturale ad ambo i membri dell'equazione e trovarsi in questo modo z come funzione di operatori.
Che cos'è una funzione di operatori? è una funzione che può essere definita solo quando ha senso scrivere la serie di Taylor della funzione, per cui ad esempio dato un operatore X
\(\displaystyle exp(X) = 1 + X + \frac{X^2}{2} +...\)
Capirete allora che sviluppare i due esponenziali e poi risviluppare in serie di Taylor il logaritmo diventa un macello e sinceramente non sono sicuro della convergenza di una serie del genere
2) provare ad usare le formule di eulero, ottenendo
\(\displaystyle cos(\frac{-p \cdot \Delta z' \hat{z}}{\hbar})=cos(\frac{-p \cdot \Delta x' \hat{x}}{\hbar})+cos(\frac{-p \cdot \Delta y' \hat{y}}{\hbar}) \)
\(\displaystyle sin(\frac{-p \cdot \Delta z' \hat{z}}{\hbar})=sin(\frac{-p \cdot \Delta x' \hat{x}}{\hbar})+sin(\frac{-p \cdot \Delta y' \hat{y}}{\hbar}) \)
sviluppando in serie di taylor le 2 equazioni e chiamando i termini all'interno dei coseni e seni rispettivamente Z, X e Y si ottiene che z esiste se e solo se
\(\displaystyle Z^n=X^n+Y^n \) per ogni n
Essendo falsa quest'ultima uguaglianza allora z non esiste. È vero oppure ho scritto delle cappellate assurde?
Bisogna tener presente, sempre secondo me, che X, Y e Z applicati ad un autovettore di p restituiscono un'equazione agli autovalori con autovalori reali, perchè sono operatori hermitiani.
Grazie dell'attenzione e per aver avuto la pazienza di leggere fino a questo punto.
1) fare il logaritmo naturale ad ambo i membri dell'equazione e trovarsi in questo modo z come funzione di operatori.
Che cos'è una funzione di operatori? è una funzione che può essere definita solo quando ha senso scrivere la serie di Taylor della funzione, per cui ad esempio dato un operatore X
\(\displaystyle exp(X) = 1 + X + \frac{X^2}{2} +...\)
Capirete allora che sviluppare i due esponenziali e poi risviluppare in serie di Taylor il logaritmo diventa un macello e sinceramente
non sono sicuro della convergenza di una serie del genere2) provare ad usare le formule di eulero, ottenendo
\(\displaystyle cos(\frac{-p \cdot \Delta z' \hat{z}}{\hbar})=cos(\frac{-p \cdot \Delta x' \hat{x}}{\hbar})+cos(\frac{-p \cdot \Delta y' \hat{y}}{\hbar}) \)
\(\displaystyle sin(\frac{-p \cdot \Delta z' \hat{z}}{\hbar})=sin(\frac{-p \cdot \Delta x' \hat{x}}{\hbar})+sin(\frac{-p \cdot \Delta y' \hat{y}}{\hbar}) \)
sviluppando in serie di taylor le 2 equazioni e chiamando i termini all'interno dei coseni e seni rispettivamente Z, X e Y si ottiene che z esiste se e solo se
\(\displaystyle Z^n=X^n+Y^n \) per ogni n
Essendo falsa quest'ultima uguaglianza allora z non esiste. È vero oppure ho scritto delle cappellate assurde?
Bisogna tener presente, sempre secondo me, che X, Y e Z applicati ad un autovettore di p restituiscono un'equazione agli autovalori con autovalori reali, perchè sono operatori hermitiani.
Grazie dell'attenzione e per aver avuto la pazienza di leggere fino a questo punto.
Hahaha in realtà i due approcci, sono la stessa cosa. Solo che il secondo punto mi è uscito fuori scrivendolo
Se tu sommi due complessi unitari la loro somma potrebbe non essere unitaria.
"vict85":
Se tu sommi due complessi unitari la loro somma potrebbe non essere unitaria.
Scusami
, non riesco a vedere come la tua proposizione porti al risultato che sto cercando
Non conosco la meccanica quantistica ma:
\(\rho\colon \mathbb{R}\to\mathbb{C}^*\)
definito come
\( r \mapsto \exp(i\alpha r)\)
è un omomorfismo di gruppi la cui immagine è il cerchio unitario. Spesso si sceglie \(\alpha=\pm 2\pi\) a seconda del verso di percorrenza che si vuole intraprendere.
Quello che intendo dire è che il cerchio unitario non è chiuso rispetto alla somma.
Il tuo caso sembra simile.
\(\rho\colon \mathbb{R}\to\mathbb{C}^*\)
definito come
\( r \mapsto \exp(i\alpha r)\)
è un omomorfismo di gruppi la cui immagine è il cerchio unitario. Spesso si sceglie \(\alpha=\pm 2\pi\) a seconda del verso di percorrenza che si vuole intraprendere.
Quello che intendo dire è che il cerchio unitario non è chiuso rispetto alla somma.
Il tuo caso sembra simile.
Grazie. Hai ragione, ora che mi ricordo bene qualche anno fa' ho visto formulare il problema (da un prof. molto attento all'algebra) proprio in questo modo
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