Sottogruppi di ordine 3 e ordine 5 nel gruppo S4

[alexqwertyuiopoiu]

Salve a tutti,
complimenti per il forum, vi seguo da tanto e sono riscito a chiarire un bel po' di dubbi grazie a voi.
Ultimamente sono alle prese con un piccolo esercizio che ho trovato anche qui (postato dall'utente valeee93) ma a cui nessuno ha risposto (ed io non ho idea di come fare).
L'esercizio è : "Trovare i sottogruppi di ordine 3 e quelli di ordine 5 nel gruppo S4."
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie infinite.

[vict85]

Ogni elemento di \(S_4\) è una permutazione dell’insieme \(\{ 1, 2, 3, 4 \}\). Un sottogruppo di ordine un primo deve essere ciclico (per il teorema di Lagrange).

L’ordine di un elemento di \(S_4\) coincide con il minimo comune multiplo degli ordini dei cicli disgiunti che lo compongono. Ma un elemento di \(S_4\) non contiene cicli di ordine \(\displaystyle 5 \). Quindi \(S_4\) non contiene elementi di ordine \(\displaystyle 5 \) (cosa dimostrabile anche usando direttamente il teorema di Lagrange su \(\displaystyle 4! = 2^3\cdot 3 \).

Se \(\displaystyle \sigma\in S_4 \) contiene un elemento di ordine \(\displaystyle 3 \) allora deve fissare un elemento di \(\{ 1, 2, 3, 4 \}\). Si noti che \(\displaystyle S_3 \) possiede un unico sottogruppo (normale) di ordine \(\displaystyle 3 \), pertanto esiste un unico sottogruppo di ordine \(\displaystyle 3 \) per ogni elemento fissato.

Fissato \(4 \):
\(\displaystyle \langle (123)\rangle = \langle (132)\rangle \)
Fissato \(1 \):
\(\displaystyle \langle (234)\rangle = \langle (243)\rangle \)
Fissato \(2 \):
\(\displaystyle \langle (134)\rangle = \langle (143)\rangle \)
Fissato \(3 \):
\(\displaystyle \langle (124)\rangle = \langle (142)\rangle \)

[alexqwertyuiopoiu]

Grazie mille sei stato chiarissimo!!