Limiti diretti/inversi su insiemi di indici qualsiasi
Mi e' venuta in mente una cosa probabilmente banale, ma per cui non ho trovato fonti.
Nella definizione di limite diretto/inverso, qui e qui le corrispondenti pagine di wiki, per definizione si vuole che l'insieme degli indici sia diretto.
Ma e' davvero necessario?
Esempio. Proviamo a fare un limite inverso di gruppi su un insieme che non e' un insieme diretto. Sia $D'$ un insieme diretto e sia $D = D' \cup \{p \}$ dove $p$ e' un nuovo elemento, con unica relazione $p\leq p$. L'insieme $D$ non e' diretto. Prendiamo una famiglia di gruppi $\{ G_d \} _{d \in D}$ con i loro morfismi $\phi_{d_2 d_1} : G_{d_1} \to G_{d_2}$ per ogni $d_1 \geq d_2$. Non ci sono morfismi che legano $G_p$ agli altri gruppi.
Il limite inverso e' il sottogruppo di $\prod_D G_d$ dato da
\[
\lim_{\leftarrow D} G_d = \{{\bf g} \in \prod G_d : \phi_{d_2 d_1}(g_{d_1}) = g_{d_2} \}
\]
Non ci sono dunque condizioni su $g_p$. Risulta dunque $\lim_{\leftarrow D} G_d = G_p \times \lim_{\leftarrow D'} G_d $.
Che mi sembra perfettamente naturale. Questo e' un esempio facile; non riesco a vedere cosa succede se si mescolano due insiemi diretti, mettendo dentro anche relazioni che li fanno interagire.
Dunque, ci sono esempi in cui non richiedere che l'insieme degli indici sia diretto crea qualche problema? A me sembra semplicemente che ci siano meno condizioni da soddisfare.
Nella definizione di limite diretto/inverso, qui e qui le corrispondenti pagine di wiki, per definizione si vuole che l'insieme degli indici sia diretto.
Ma e' davvero necessario?
Esempio. Proviamo a fare un limite inverso di gruppi su un insieme che non e' un insieme diretto. Sia $D'$ un insieme diretto e sia $D = D' \cup \{p \}$ dove $p$ e' un nuovo elemento, con unica relazione $p\leq p$. L'insieme $D$ non e' diretto. Prendiamo una famiglia di gruppi $\{ G_d \} _{d \in D}$ con i loro morfismi $\phi_{d_2 d_1} : G_{d_1} \to G_{d_2}$ per ogni $d_1 \geq d_2$. Non ci sono morfismi che legano $G_p$ agli altri gruppi.
Il limite inverso e' il sottogruppo di $\prod_D G_d$ dato da
\[
\lim_{\leftarrow D} G_d = \{{\bf g} \in \prod G_d : \phi_{d_2 d_1}(g_{d_1}) = g_{d_2} \}
\]
Non ci sono dunque condizioni su $g_p$. Risulta dunque $\lim_{\leftarrow D} G_d = G_p \times \lim_{\leftarrow D'} G_d $.
Che mi sembra perfettamente naturale. Questo e' un esempio facile; non riesco a vedere cosa succede se si mescolano due insiemi diretti, mettendo dentro anche relazioni che li fanno interagire.
Dunque, ci sono esempi in cui non richiedere che l'insieme degli indici sia diretto crea qualche problema? A me sembra semplicemente che ci siano meno condizioni da soddisfare.
Risposte
In generale, se ti metti in una categoria \(\displaystyle\mathbf{C}\) e consideri un diagramma di suoi oggetti \(\displaystyle\{A_i\in\mathrm{Obj}(\mathbf{C})\}_{i\in I}\) indiciati in un insieme parzialmente ordinato (poset) \(\displaystyle I\) e una famiglia di frecce \(\displaystyle\{\varphi_{ij}\in\hom_{\mathbf{C}}(A_i;A_j)\}_{i;j\in I}\) tali che:
\[
\forall i\in I,\,\varphi_{ii}=1_{A_i}\\
\forall i\leq j\leq k\in I,\,\varphi_{ik}=\varphi_{jk}\circ\varphi_{ij}
\]
allora ha senso chiederti se esiste il limite induttivo \(\displaystyle\lim_{\longrightarrow}A_i\) in \(\displaystyle\mathbf{C}\).
Se, invece, richiedi che il poset \(\displaystyle I\) sia diretto, allora si afferma che il precedente limite diretto (se esiste) è filtrante (attraverso \(\displaystyle I\)).
Discorso analogo per i limiti proiettivi!
Esercizio: Siano \(\displaystyle\mathbf{C}=\mathbf{Set};I=\{i;j\}\) con \(\displaystyle i\) e \(\displaystyle j\) elementi non confrontabili (\(\displaystyle I\) è un poset con l'ordine banale: ogni elemento è confrontabile solo con se stesso): chi sono i limiti diretto e inverso di due insiemi \(\displaystyle A_i\) e \(\displaystyle A_j\)?
\[
\forall i\in I,\,\varphi_{ii}=1_{A_i}\\
\forall i\leq j\leq k\in I,\,\varphi_{ik}=\varphi_{jk}\circ\varphi_{ij}
\]
allora ha senso chiederti se esiste il limite induttivo \(\displaystyle\lim_{\longrightarrow}A_i\) in \(\displaystyle\mathbf{C}\).
Se, invece, richiedi che il poset \(\displaystyle I\) sia diretto, allora si afferma che il precedente limite diretto (se esiste) è filtrante (attraverso \(\displaystyle I\)).
Discorso analogo per i limiti proiettivi!
Esercizio: Siano \(\displaystyle\mathbf{C}=\mathbf{Set};I=\{i;j\}\) con \(\displaystyle i\) e \(\displaystyle j\) elementi non confrontabili (\(\displaystyle I\) è un poset con l'ordine banale: ogni elemento è confrontabile solo con se stesso): chi sono i limiti diretto e inverso di due insiemi \(\displaystyle A_i\) e \(\displaystyle A_j\)?
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