Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Come faccio a determinare l insieme quoziente di NxN se la relazione è: (a,b)R(c,d) se e solo se a+d=b+c?

se $(a,b)=1$ $(a,c)=1$ allora $(a,bc)=1$ se $a|bc$ $(a,b)=1$ allora $a|c$ Come le dimostro ?

Mi sono imbattuto in $2$ definizioni diverse di radici primitive dell'unità (nei numeri complessi) 1) è una radice primitiva dell'unità $n-$esima, quella per cui possiamo ottenere, dalle sue potenze tutte le radici $n-$esime delle unità. esempio: se $r$ è radice primitiva dell'unità, allora $r^1,r^2,r^3,\cdots,r^{n-1},r^n$ formano tutte le radici $n-$esime dell'unità (e $r^n=1$). In particolare, se $\omega$ è la radice ...

Salve a tutti! Mi sto preparando nell'esame di Matematica Discreta per Informatica e mi è capitato sotto mano questo esercizio: Dimostrare attraverso il principio di induzione che $ AA n >= 7 : 2^n > n^2 + 4n+ 5 $ Benissimo. Inizio l'esercizio dimostrando che P(7), ovvero il passo base, è vera Si ottiene, infatti che : 128> 82 -> vera. Passo al passo induttivo: P(k) vera => P(k+1) vera $ 2^(k+1) = 2 * 2^k > 2(n^2 + 4n + 5) > 2n^2 + 8n+ 10 $ $ > n^2 + n^2 + 4n + 4n + 5+ 5 $ $ > n^2 + n^2 + 2n + 2n + 4n + 4 + 1 + 5 $ $ > n^2 + n^2 + 2n +2n +1 + 4(n+1) + 5 $ Arrivati a questo punto, non riesco ad ottenere ...

Ciao a tutti , ho il seguente esercizio: "Quanti sono i coniugati di $σ = (12)(345)$ in $S_5$? E in $A_5$?" la mia idea è questa: si potrebbe calcolare tutti gli elementi di $S_5$ e calcolare le varie classi di coniugio solo che la cosa diventerebbe lunghissima, allora avevo pensato questo: poiché in Sn gli elementi che stanno nella stessa classe di coniugio hanno la stessa struttura ciclica allora stavo per pensare di calcolare il numero di permutazioni ...

Ciao, come faccio a calcolare l'insieme quoziente delle classi di equivalenza?? per esempio: ho una relazione R definita come 4|b + 3a con aRb (ci troviamo nell'insieme Z) mi è stato suggerito che le classi di equivalenza si ricavano partendo da 0 (nel caso di insiemi non privi dello 0) e sostituendo il numero all'elemento. quindi nel caso di una classe [0] la relazione diventerà 4|b+ 3(0) --> 4|b poi passo ad 1 quindi [1] la relazione sarà 4|b+3(1) poi [2] con la relazione ...

ciao a tutti , ho un esercizio che mi chiede di trovare tutti i sottogruppi di $S_3$ e $S_4$; io lo risolverei in questo modo per $S_3$ mi calcolerei tutti i possibili $2^3$ sottoinsiemi e per ognuno applico la definizione di sottogruppo e vedo se quel sottogruppo la rispetta. stessa cosa per $S_4$ solo che i sottoinsiemi sono $2^4$ penso che in questo modo l'esercizio lo si svolga in maniera corretta, il problema è che ...

Buongiorno , come da titolo vorrei un aiuto per degli esercizi di algebra. 1) Siano S e T insiemi. Provare che risulta S=T se e soltanto se esiste un insieme $V$ tale che $SnnV=TnnV$ e $SuuV=TuuV$ Questo mi sembra ovvio, ma non riesco proprio a "descriverlo" matematicamente. Due insiemi uguali se intersecano un terzo insieme sono comunque uguali. 2) Siano S e T insiemi. Provare che risulta $(SuuT)nnV=Suu(TnnV)$ se e soltanto se $SsubeV$. Questo mi sembra che ...

Ciao a tutti. Mi è stato dato questo esercizio, sicuramente è banale ma sono all'inizio e non ho ben capito. aRb $\Rightarrow$ a=$b^4$ Mi chiede se è una relazione di equivalenza o ordine, oppure nessuna Poi ho questa aRb $\Rightarrow$ a=bx

Sono al primo anno di matematica. il mio professore ci ha dato alcuni esercizi di algebra sulle prime cose, proponendo anche la soluzione. Non riesco però a capire un passaggio, potreste aiutarmi? L'esercizio è: Siano S,T,V insiemi. Allora: (S $uu$ T) $nn$ V $sube$ S $uu$ (T $nn$ V) La soluzione: sia x $in$ (S $uu$ T) $nn$ V . Allora x $in$ S $uu$ T e x ...

Salve, Ho alcuni problemi con questo esercizio: Sia $(S,*)$ un gruppo e sia x un elemento di S. Provare che $AA n,m in ZZ$ risulta: (1) $x^m * x^n = x^(m+m)$ (2) $(x^m)^n = x^(m * n)$ Ho dimostrato le stesse proprietà $AA n,m in NN$ con il principio di induzione. Inoltre dovrei lavorare semplicemente con queste poche definizioni: $x^0 = 1; x^n = x^(n-1)*x; x^n=(x^(-1))^-n$ Come posso procedere in $ZZ$ ? Grazie!

Salve a tutti, è da stamattina che tento invano di risolvere questo esercizio: Trova le soluzioni generali di questa equazione lineare diofantea 2072x+1813y = 2849. Perchè abbia soluzioni intere 2072 e 1813 dovrebbero essere relativamente primi, ma l' MCD non è uno, ma 259. Suppongo che si possa divide a destra e sinistra per 259 e rimanere con la seguente equazione: 8x+7y=11. Da qui in poi non so proseguire, o meglio ho provato in molti modi diversi senza successo. Qualcuno sa come posso ...

Salve , non ho trovato un posto nel forum dove presentarmi (forse mi è sfuggito), comunque sono Gianni e sono iscritto alla facoltà di Matematica. Vi espongo subito il mio problema. Stavo preparando l'esame di algebra1 e mi sono imbattuto nel prodotto cartesiano di una famiglia di insiemi (introduzione all'assioma della scelta) e mi sono sorti dei dubbi...ve li elenco senza darvi la definizione di prodotto cartesiano che credo già conosciate... EDIT: Sia $(S_i)_{i in I}$ una famiglia di ...

Devo provare che il gruppo G ammette almeno un sottogruppo normale proprio non banale (quindi diverso da G e {1}) nel caso che |G|=$p^2(p+3)$ con $p>=5$ , p numero primo Devo usare i teoremi di Sylow?

Ciao a tutti, ho un dubbio riguardo un esercizio, dovrei calcolare 2015^(2015) mod 1000 per scoprire quali sono le ultime 3 cifre decimali. Per risolverlo ho prima calcolato il MCD(2015,1000) che chiaramente è diverso da 0 quindi ho escluso il teorema di Eurelo. Allora ho fattorizzato 1000, 8*125=1000 , e per il teorema cinese del resto so che 2015^(2015) è congruo a x sia mod 128 che mod 8. Poi ho calcolato e ho notato che 2015 è congruo a 7 mod 8 cioè è congruo a -1 mod 8 e questo va bene, ...

salve a tutti , ho un dubbio a cui non riesco a trovare una risposta: non riesco a capire quale sia la differenza fra i sottogruppi generati da un elemento e i sottogruppi in generale. Non so se la cosa è chiara ma mi permane da diversi giorni questo dubbio. Vi ringrazio molto per l'aiuto

Sia $M={a/p^n:a,n\inZZ,n>=0}$ sottogruppo di $QQ$, si definisce il gruppo di Prüfer $ZZ(p^(oo))=M/ZZ$. Come posso dimostrare che il gruppo $(ZZ(p^(oo)),+)$ è divisibile, ovvero che dati $x\inZZ(p^(oo))$ e $m\inZZ$ esiste $y\inZZ(p^(oo))$ tale che $x=my$? In sostanza dovrei mostrare che $a/p^n+ZZ=m(b/p^k+ZZ)$, $EEb\inZZ$, ovvero che $a/p^n=mb/p^k$, $EEb\inZZ$...ma non sono nemmeno convinto che sia vero.

Salve a tutti, ho le idee un po confuse sui campi di spezzamento ed avrei bisogno di qualche chiarimento. Sto svolgendo un esercizio che mi chiede di calcolare il campo di spezzamento in $CC$ di $f(x)=x^4+x^2-1 in QQ[X]$. Ho verificato che quel polinomio è irriducibile, quindi, detto $K$ il campo di spezzamento, avremo $4<=[K]<=4!=24$. Le radici di quel polinomio in $CC$ sarebbero $+-sqr((-1+-i sqrt(3))/2)$; detto questo però non riesco a capire quale sia il suo campo ...

Devo trovare i sottogruppi normali di $A_4$ usando le classi di coniugio. Ho trovato 4 classi: Cl(id)={id}; Cl((123))={(123),(243),(134),(142)} ; Cl((132))={(132),(234),(143),(124)} ; Cl((12)(34))={(12)(34),(13)(24),(14)(23)}. come faccio a trovare i sottogruppi normali?

Ciao a tutti! qualcuno potrebbe spiegarmi in modo rigoroso che cosa è l'insieme quoziente e che cosa sono le classi di equivalenza? In particolare avrei bisogno di una spiegazione che mi permetta di risolvere degli esercizi ( e di capirli prima di tutto). Sia: $ xepsilony hArr 3|x-y $ una relazione di equivalenza, quali sono le classi di equivalenza e quale l'insieme quoziente? grazie