Prodotto cartesiano di una famiglia di insiemi
Salve 
, non ho trovato un posto nel forum dove presentarmi (forse mi è sfuggito), comunque sono Gianni e sono iscritto alla facoltà di Matematica.
Vi espongo subito il mio problema.
Stavo preparando l'esame di algebra1 e mi sono imbattuto nel prodotto cartesiano di una famiglia di insiemi (introduzione all'assioma della scelta) e mi sono sorti dei dubbi...ve li elenco senza darvi la definizione di prodotto cartesiano che credo già conosciate...
EDIT: Sia $(S_i)_{i in I}$ una famiglia di insiemi non tutti vuoti e si ponga $S=uuu_{i in I} S_i^$. Si dice prodotto cartesiano degli elementi della famiglia $(S_i)_{i in I}$ l'insieme delle famiglie $(x_i)_{i in I}$ di emlementi di $S$ tali che $x_i$ appartenga a $S_i$ per ogni elemento $i$ di $I$
1) Se $S$ è l'insieme contenente come oggetti insiemi ed $I$ è l'insieme degli indici, $S_i$ contiene uno o più oggetti? Cioè ci sono una sola o più immagini in $S_i$? $S_i$ può essere infinito?
2) Gli $S_i$ possono essere infiniti?
3) Se un $S_i$ è infinito allora anche $S$ è infinito?
4)Se $S_i$ contiene più oggetti come fa l'applicazione ($x_i$) ad associare un elemento del dominio a più elementi del codominio? Non va contro il concetto stesso di applicazione? Cioè si può associare ad un elemento del dominio più elementi del codominio?
Grazie infinite per l'aiuto
.
, non ho trovato un posto nel forum dove presentarmi (forse mi è sfuggito), comunque sono Gianni e sono iscritto alla facoltà di Matematica.Vi espongo subito il mio problema.
Stavo preparando l'esame di algebra1 e mi sono imbattuto nel prodotto cartesiano di una famiglia di insiemi (introduzione all'assioma della scelta) e mi sono sorti dei dubbi...ve li elenco senza darvi la definizione di prodotto cartesiano che credo già conosciate...
EDIT: Sia $(S_i)_{i in I}$ una famiglia di insiemi non tutti vuoti e si ponga $S=uuu_{i in I} S_i^$. Si dice prodotto cartesiano degli elementi della famiglia $(S_i)_{i in I}$ l'insieme delle famiglie $(x_i)_{i in I}$ di emlementi di $S$ tali che $x_i$ appartenga a $S_i$ per ogni elemento $i$ di $I$
1) Se $S$ è l'insieme contenente come oggetti insiemi ed $I$ è l'insieme degli indici, $S_i$ contiene uno o più oggetti? Cioè ci sono una sola o più immagini in $S_i$? $S_i$ può essere infinito?
2) Gli $S_i$ possono essere infiniti?
3) Se un $S_i$ è infinito allora anche $S$ è infinito?
4)Se $S_i$ contiene più oggetti come fa l'applicazione ($x_i$) ad associare un elemento del dominio a più elementi del codominio? Non va contro il concetto stesso di applicazione? Cioè si può associare ad un elemento del dominio più elementi del codominio?
Grazie infinite per l'aiuto
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Risposte
Per favore dai la definizione di prodotto cartesiano di una famiglia di insiemi usando le tue notazioni. Grazie
Grazie.
1) $S_i$ contiene uno o più oggetti? Non è specificato, cioè può contenerne uno o più. $S_i$ può essere infinito? Sì chiaro.
2) Gli $S_i$ possono essere infiniti? Sì chiaro, pensa per esempio a $NN^2$, o anche a $NN^{NN}$.
3) Se un $S_i$ è infinito allora anche $S$ è infinito? Sì chiaro: $S_i$ è contenuto in $S$.
4) L'applicazione $(x_i)$ è una applicazione $I \to S$ definita da $i \to x_i$. Quindi non associa $i$ a più elementi di $S$, associa $i$ all'unico elemento $x_i$.
1) $S_i$ contiene uno o più oggetti? Non è specificato, cioè può contenerne uno o più. $S_i$ può essere infinito? Sì chiaro.
2) Gli $S_i$ possono essere infiniti? Sì chiaro, pensa per esempio a $NN^2$, o anche a $NN^{NN}$.
3) Se un $S_i$ è infinito allora anche $S$ è infinito? Sì chiaro: $S_i$ è contenuto in $S$.
4) L'applicazione $(x_i)$ è una applicazione $I \to S$ definita da $i \to x_i$. Quindi non associa $i$ a più elementi di $S$, associa $i$ all'unico elemento $x_i$.
Grazie per la risposta.
Sui punti 1, 2 e 3 tutto chiaro. Forse mi sono espresso male prima riguardo al punto 4...mi spiego: L'applicazione $(x_i)$ essendo un'applicazione di $I rarr S$ significa che associa ad un certo $i$ di $I$ un elemento di $S$ che in questo caso è un insieme $S_i$ giusto? Allora questo $x_i$ (ossia l'immagine) essendo un insieme contenente più elementi questa applicazione a quale elemento fa riferimenti? Ad uno solo in $S_i$ o a tutti gli elementi di $S_i$ e quindi all'insieme stesso? Non so se mi sono espresso bene, scusa.
Sui punti 1, 2 e 3 tutto chiaro. Forse mi sono espresso male prima riguardo al punto 4...mi spiego: L'applicazione $(x_i)$ essendo un'applicazione di $I rarr S$ significa che associa ad un certo $i$ di $I$ un elemento di $S$ che in questo caso è un insieme $S_i$ giusto? Allora questo $x_i$ (ossia l'immagine) essendo un insieme contenente più elementi questa applicazione a quale elemento fa riferimenti? Ad uno solo in $S_i$ o a tutti gli elementi di $S_i$ e quindi all'insieme stesso? Non so se mi sono espresso bene, scusa.
No no l'applicazione $x_i$ associa $i$ a $x_i$, non a $S_i$.
Mmhh e allora perché fare la distinzione tra prodotto cartesiano e prodotto cartesiano di una famiglia di insiemi? Nel senso, che vantaggi può portare?
La definizione che hai riportato definisce il prodotto cartesiano in generale, è la definizione "pulita" di prodotto cartesiano senza nessuna ipotesi sulla cardinalità dell'insieme $I$ degli indici.
Pensa per esempio a $NN^2$. Qui $S_1 = NN$, $S_2 = NN$, $S = NN$, $I = \{1,2\}$ e un elemento $x \in NN^2$ è una funzione $x:\ I \to S$, cioè $x: \{1,2\} \to NN$. In questo modo $x$ è completamente determinato dall'immagine degli elementi 1 e 2, cioè da $x(1)$ e $x(2)$. Infatti tu pensi a $x$ come alla coppia $(x(1),x(2))$.
Se fosse $NN^{NN}$ sarebbe ancora $S_i = NN$ per ogni $i \in I = NN$, $S = NN$ e un elemento $x$ di $NN^{NN}$ è una funzione $x:NN \to NN$. $x$ è completamente determinato da $x(1),x(2),x(3),...$ e infatti tu pensi a $x$ di solito come a $(x(1),x(2),x(3),...)$.
Qui quando scrivo $x(i)$ intendo quello che tu chiami $x_i$.
Pensa per esempio a $NN^2$. Qui $S_1 = NN$, $S_2 = NN$, $S = NN$, $I = \{1,2\}$ e un elemento $x \in NN^2$ è una funzione $x:\ I \to S$, cioè $x: \{1,2\} \to NN$. In questo modo $x$ è completamente determinato dall'immagine degli elementi 1 e 2, cioè da $x(1)$ e $x(2)$. Infatti tu pensi a $x$ come alla coppia $(x(1),x(2))$.
Se fosse $NN^{NN}$ sarebbe ancora $S_i = NN$ per ogni $i \in I = NN$, $S = NN$ e un elemento $x$ di $NN^{NN}$ è una funzione $x:NN \to NN$. $x$ è completamente determinato da $x(1),x(2),x(3),...$ e infatti tu pensi a $x$ di solito come a $(x(1),x(2),x(3),...)$.
Qui quando scrivo $x(i)$ intendo quello che tu chiami $x_i$.
Ah ora mi è tutto un po' più chiaro, grazie!
Prego 
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