Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Ciò che vorrei chiedere è questo. In $R$: $sqrt(4)=2$ è corretto. $sqrt(4)=-2$ è errato, anche se \(\displaystyle {-2\bullet-2} \)$=4$ Questo lo so perché per definizione si dice che la radice con indice pari di un numero positivo è un numero positivo. Ma perché è proprio questa la definizione? Se invece di definire così la radice, si fosse definita dicendo che "la radice di un numero positivo è un numero negativo" (considerando $sqrt(4)=-2$ , in ...

CIao ragazzi! Questo è il mio esercizio: -a) Utilizzando l’algoritmo di Euclide si trovi il massimo comune divisore dei numeri 738 e 621. -b) Si trovino due numeri interi a e b tali che 738a + 621b = MCD(738,621). -c) Si dica, con dimostrazione, se esistono due numeri interi α e β tali che 738α + 621β = 1. Per il primo punto trovo: 738=621*1+117 621=117*5+36 117=36*3+9 36=9*4+0 Quindi MCD=9 (correggetemi se sbaglio ) Non riesco a risolvere però il punto b, infatti risolvendo all' ...

Salve, ho dei dubbi su come risolvere il seguente esercizio Data la funzione f(x,y)=(x^2 + y^2, x^2 - y^2) $f:RR^2 \to RR^2$ dire se la funzione è iniettiva, suriettiva o invertibile? Per verificare che è iniettiva o meno ho imposto che l'immagine sia nulla $\{(x^2+y^2 = 0),(x^2-y^2 = 0):}$ da cui ricavo il punto (0,0). Quindi la funzione è iniettiva? Per la suriettività invece dovrei calcolare la controimmagine rispetto a un punto generico..ma qui ho dei dubbi. Vorrei sapere se il mio ragionamento è ...

Buonasera a tutti, Sto disperatamente cercando online qualcosa sugli zeri (non banali) della funzione Zeta di Riemann. Premessa: le mie basi sono solo un corso base di teoria dei numeri, conosco il Teorema di Riemann, ma non tanto l'analisi complessa. La funzione $\zeta(s)$, su tutto $CC$, per l'equazione funzionale data da Riemann: $\zeta(s)=\frac{\Phi(s)}{\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)}$ (1) dove $\Phi(s)=1/2\int_{1}^{oo} (x^{s/2}+x^{\frac{1-s}{2}})(\theta(x)-1) \frac{dx}{x} +\frac{1}{s(s-1)}$ la funzione $\Gamma$ di Eulero: $\Gamma(s/2)= \int_{0}^{oo} e^{-x} x^{s/2-1} dx$ la funzione ...

Buonasera a tutti, sto incontrando qualche difficolta col seguente esercizio: Mostrare che [tex]\mathbb{R}^3\setminus\mathbb{Q}^3[/tex] é unione di rette dısgıunte. Il mio tentativo di soluzione é il seguente: Defınısco [tex]\mathrm{L_0}=r[/tex], dove $r$ é una retta qualsıası e, per ınduzıone trafınıta ad ognı passo aggıungo una retta dısgıunta dalle precedentı, fıno a raggıungere la cardınalıta del contınuo. Infıne ındıco [tex]\mathrm{L_c}[/tex] l'unıone dı tuttı ı precedentı. ...

Salve ragazzi, qualcuno sa il metodo di svolgimento di questo esercizio? Sia U={0,1,2,3} e sia F una qualsiasi funzione F:U->U Dire se la seguente affermazione è vera. F^2=G^2 => F=G A seconda della risposta, fornire la dimostrazione o un controesempio. Soluzione L'affermazione non è vera. La soluzione è data dal controesempio: F={(0;1); (1;0); (2;2); (3;3)} G={(0;0); (1;1); (2;3); (3;2)} Secondo quale criterio devo associare i numeri? Grazie in anticipo.

CIao a tutti! Sto avendo a che fare con un esercizio di algebra e logica il cui testo è: 1) Utilizzando l’algoritmo di Euclide si trovi il massimo comune divisore dei numeri $1001$ e $33$ 2) Trovare due numeri interi $alpha$ e $beta$ tale che $1001 alpha + 33 beta = 11$ 3) Sia $p = 1001 m + 33 n$, dove $m, n in ZZ$ sono due numeri interi arbitrari Per il primo punto è tutto ok, come risultato trovo $11$ (confermate)? Ma non riesco a farmi ...

Buon giorno, qualcuno può aiutarmi nella dimostrazione di quest'identità? A me non torna alla fine! Ve la posto: Per ogni $ N, m, n $ interi con $ 0 <=n<=N $ e $ 0<=m<=N $ vale: $ {( (m), (k) ) ( (N-m), (n-k) )} /{ ( (N), (n) ) } ={( (n), (k) ) ( (N-n), (m-k) )} /{ ( (N), (m) ) } $ Ho provato con il calcolo diretto e non mi torna. Ps a me viene in mente la distribuzione ipergeometrica... Grazie!!

Altro dubbio prima della prova in itinere... Allora l'esercizio richiede questo: usando il lemma dei cassetti, si dimostri il seguente risultato: Lemma. Siano X,Y due insiemi finiti con lo stesso numero di elementi e f: X $ rarr $ Y una funzione. Allora f è iniettiva se e solo se è suriettiva. Per comodità vi riporto anche il lemma dei cassetti: Lemma. Siano X,Y due insiemi finiti tali che |X|>|Y|. Sia f: X $ rarr $ Y una funzione. Allora f non è ...

Ho due gruppi: $E_{n+1}$, gruppo delle matrici triangolari superiori (n+1) x (n+1) con la diagonale di tutti 1, e i coefficienti di queste matrici appartengono tutte al campo $GF(2)$, campo finito con due elementi. Poi ho $V_nE_n$ prodotto semidiretto del gruppo $E_n$, con le stesse proprietà di $E_{n+1}$, e $V_n$ spazio vettoriale di dimensione n, in cui ogni elemento del vettore appartiene al campo $GF(2)$. Devo dimostrare ...

Sia $X$ un insieme e sia $P(X)$ l'insieme di tutti i sottoinsiemi di X. Dati due elementi A,B di P(X) (quindi A e B sono sottoinsiemi di X) definisci l'operazione $A+B = (A uu B) \\ (A nn B)$. Dimostrare che $(P(X),+, O/)$ è un gruppo. Buon pomeriggio, avrei bisogno di aiuto per capire come definire l'operazione $A+B = (A uu B) \\ (A nn B)$ e dimostrare che $(P(X),+, O/)$ è un gruppo. Grazie

Buon pomeriggio, un esercizio chiede di trovare un elemento di B, $B = (A[x])/(x^3+x+1) $ con $A = Z_2$, che abbia ordine 7 rispetto all'operazione di prodotto. Sappiamo che |B| = 8. Ci sono alcune cose non mi sono chiare per quanto riguarda la soluzione. Innanzitutto, partendo da B, prende in esame $B $\$ {0}$. Toglie lo 0 perchè il quesito chiede di trovare un elemento di ordine 7 rispetto al prodotto? e quindi 0 è elemento nullo per il prodotto? Poi, ...

Salve a tutti, premetto sono uno studente del secondo anno della facoltà di fisica e sono appassionato di matematica. Attualmente mi sono interessato dei fondamenti della matematica teoria insiemi e logica). Ho una domanda di carattere "introduttivo" sull'argomento prima di cimentarmi nella lettura di testi specifici. Tutta la matematica è basata sulla teoria degli insiemi e la teoria degli insiemi si esprime con la logica (generalmente è sufficiente quella del primo ordine.... vabbè). In oltre ...

Salve a tutti, ho un dubbio sui casi in cui vale la proprietà antisimmetrica delle relazioni. La proprietà simmetrica, cioè xρy => yρx vale ad esempio per l’uguaglianza, x=y, e fin qui tutto bene. La proprietà antisimmetrica, cioè ((xρy and yρx) => x=y) vale ovviamente per il minore uguale (x minore uguale y), tuttavia da due prof distinti ho sentito (o almeno capito) cose diverse riguardo al minore, cioè per x

Salve ragazzi, mi trovo con notevoli difficoltà nel svolgere questo esercizio di algebra: Sia dato il polinomio P(X) = X^4 - 2 a coefficienti nel campo Q. (a) Si provi che è irriducibile (b) Si provi che il campo K = Q/(P(X)) è un’estensione algebrica di Q e se ne trovi un generatore (c) Considerato K come sottocampo di C, si stabilisca se contiene il numero complesso i (d) Di K si trovi una base come spazio vettoriale su Q. Verificare che P(x) è irriducibile lo so fare, ma negli altri 3 ...

Salve a tutti. In teoria dei gruppi, dato un generico gruppo $G$, la sua Serie Centrale Superiore è definita mediante le posizioni: $Z_0(G) = \{1\}$ e ${Z_{n + 1}(G)}/{Z_n(G)} = Z(G / {Z_n(G)})$. le trattazioni che ho letto sull'argomento danno come evidente la condizione $Z_n(G) \subseteq Z_{n + 1}(G)$ per ogni $n \in \N_0$, ma a veramente sembra tutt'altro che ovvia. Qualcuno sa dimostrare o può indicare un testo che dimostri quella condizione? Grazie! Rodolfo

Ciao a tutti, ho un esercizio che mi chiede di determinare tutti i sottogruppi di $Z_6$ ( credo sia in notazione additiva), solo che non saprei veramente da dove partire, l'unica cosa che ho pensato è che i sottogruppi avranno ordine $3$ e $2$(per il teorema di lagrange). Mi potreste aiutare a continuare l'esercizio? Vi ringrazio

Sia $ A:={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} $ , sia $ B:={n in A|n^2 e' pari} $ e sia $ C:={n in A|n<=7} $ Si calcoli la cardinalita dei seguenti insiemi X, Y e Z: $ X:= A\\(B\\C) $ $ Y:={D in 2^A|B sub D} $ $ Z:={f in A^A|f(B) sub B} $ $ |X|=10\\(5\\4)=9 $ è corretto ? Per Y e Z come dovrei procedere ?

ciao a tutti! Chi potrebbe spiegarmi come applicare il metodo di risoluzione del test di miller rabin??? Ecco un esempio di esercizio. Applicare a n = 91 il test di Miller-Rabin con base a = 3. Grazie!

Ciao a tutti , ho il seguente esercizio: "Determinare i sottogruppi normali di $S_3$" Per determinare i sottogruppi , ho trovato questi: Ordine 2:$ ⟨id, p⟩$ (p è una trasposizione qualunque ) Ordine 3: $⟨id, (123), (132)⟩$ Però non so proprio come determinare quali fra questi sono normali. Vi ringrazio per l'attenzione