Campi di Spezzamento
Salve a tutti, ho le idee un po confuse sui campi di spezzamento ed avrei bisogno di qualche chiarimento.
Sto svolgendo un esercizio che mi chiede di calcolare il campo di spezzamento in $CC$ di $f(x)=x^4+x^2-1 in QQ[X]$.
Ho verificato che quel polinomio è irriducibile, quindi, detto $K$ il campo di spezzamento, avremo $4<=[K]<=4!=24$. Le radici di quel polinomio in $CC$ sarebbero $+-sqr((-1+-i sqrt(3))/2)$; detto questo però non riesco a capire quale sia il suo campo di spezzamento e quale sia il suo grado su $QQ$. Grazie anticipatamente per l'aiuto!! Buona domenica a todos
Sto svolgendo un esercizio che mi chiede di calcolare il campo di spezzamento in $CC$ di $f(x)=x^4+x^2-1 in QQ[X]$.
Ho verificato che quel polinomio è irriducibile, quindi, detto $K$ il campo di spezzamento, avremo $4<=[K]<=4!=24$. Le radici di quel polinomio in $CC$ sarebbero $+-sqr((-1+-i sqrt(3))/2)$; detto questo però non riesco a capire quale sia il suo campo di spezzamento e quale sia il suo grado su $QQ$. Grazie anticipatamente per l'aiuto!! Buona domenica a todos
Risposte
errata corrige: $4<=[K]<=4! =24$; e le radici sono $+-sqrt((-1+-i sqrt(3))/2)$
Non c'è un algoritmo generale per trovare il grado del campo di spezzamento.
In questo caso ti puoi accorgere che in realtà le radici non sono quelle che hai scritto ma sono [tex]\pm \sqrt{\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}}[/tex] e quindi K contiene elementi $\beta$ fuori da $\mathbb{R}$ (due radici sono reali e due no). Siccome K contiene anche una radice REALE $\alpha$, che ha grado 4, si ha che $\mathbb{Q}(\alpha)$ è contenuto in $\mathbb{R}$ e ha grado 4, quindi $\mathbb{Q}(\alpha,\beta)$ ha grado almeno 8 (formula dei gradi: devi usare il fatto che [tex]\beta \not \in \mathbb{R}[/tex], da cui [tex]\beta \not \in \mathbb{Q}(\alpha)[/tex]). Ora io proverei a mostrare che K ha grado proprio uguale a 8.
In questo caso ti puoi accorgere che in realtà le radici non sono quelle che hai scritto ma sono [tex]\pm \sqrt{\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}}[/tex] e quindi K contiene elementi $\beta$ fuori da $\mathbb{R}$ (due radici sono reali e due no). Siccome K contiene anche una radice REALE $\alpha$, che ha grado 4, si ha che $\mathbb{Q}(\alpha)$ è contenuto in $\mathbb{R}$ e ha grado 4, quindi $\mathbb{Q}(\alpha,\beta)$ ha grado almeno 8 (formula dei gradi: devi usare il fatto che [tex]\beta \not \in \mathbb{R}[/tex], da cui [tex]\beta \not \in \mathbb{Q}(\alpha)[/tex]). Ora io proverei a mostrare che K ha grado proprio uguale a 8.
Ok dovrei esserci! Avevo sbagliato perchè quel polinomio ha grado 4 quindi deve necessariamente avere anche radici reali che saranno $(-1+-sqrt(5))\2$, quindi avremo la seguente catena $QQ sube QQ(sqrt(5))$, con $[QQ : QQ(sqrt(5))]=2$; inoltre ci sono anche radici complesse, che chiamiamo $\alpha$ e quindi $QQ sube QQ(sqrt(5)) sube QQ(sqrt(5), \alpha)$, ed essendo $QQ(sqrt(5), \alpha)$ campo complesso avrà grado $2$ su $QQ(sqrt(5))$ che invece è reale; però così ragionando, per la moltiplicatività del grado ho che il grado totale è $4$ e non $8$. Sbaglio da qualche parte?
Ti consiglio di applicare la moltiplicatività del grado a [tex]\mathbb{Q} \subseteq \mathbb{Q}(\alpha) \subseteq \mathbb{Q}(\alpha,\beta)[/tex] dove [tex]\alpha[/tex] è una radice reale e [tex]\beta[/tex] è una radice non reale. Fatto questo proverei a mostrare che [tex]\mathbb{Q}(\alpha,\beta)=K[/tex].
Ok, grazie mille per l'aiuto! Provo a ragionarci su!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo