Sottogruppi confusione
salve a tutti , ho un dubbio a cui non riesco a trovare una risposta:
non riesco a capire quale sia la differenza fra i sottogruppi generati da un elemento e i sottogruppi in generale.
Non so se la cosa è chiara ma mi permane da diversi giorni questo dubbio.
Vi ringrazio molto per l'aiuto
non riesco a capire quale sia la differenza fra i sottogruppi generati da un elemento e i sottogruppi in generale.
Non so se la cosa è chiara ma mi permane da diversi giorni questo dubbio.
Vi ringrazio molto per l'aiuto
Risposte
Un sottogruppo non è necessariamente generato da un singolo elemento. Ma forse il problema è che hai visto solo gruppi ciclici.
scusami si forse hai ragione però il fatto è questo:
io ho un gruppo G e quello che non capisco è che i sottogruppi di G sono solo quelli generati dai suoi elementi oppure ci sono alcuni sottogruppi generati dai suoi elementi e altri?
ripeto non so se sono stato chiaro nella spiegazione del dubbio.
io ho un gruppo G e quello che non capisco è che i sottogruppi di G sono solo quelli generati dai suoi elementi oppure ci sono alcuni sottogruppi generati dai suoi elementi e altri?
ripeto non so se sono stato chiaro nella spiegazione del dubbio.
se per favore potresti mostrarmi degli esempi cosi magari riesco ad inquadrare meglio la situazione.
Ti ringrazio
Ti ringrazio
Ogni sottogruppo è generato da un qualche suo sottoinsieme.
questo in generale?
cioè se ad esempio ho il gruppo $Z_3$ i suoi sottogruppi sono generati dagli elementi $0$, $1$ e $2$?
cioè se ad esempio ho il gruppo $Z_3$ i suoi sottogruppi sono generati dagli elementi $0$, $1$ e $2$?
\(\mathbb{Z}_3\) è un gruppo ciclico e senza sottogruppi propri non banali. Non è una gran scelta per un esempio.
Detto questo la mia frase è certamente vera per qualsiasi gruppo. Mi chiedo però come tu definisca il fatto che un sottogruppo sia generato da qualcosa.
Detto questo la mia frase è certamente vera per qualsiasi gruppo. Mi chiedo però come tu definisca il fatto che un sottogruppo sia generato da qualcosa.
cioè la mia domanda è questa provo a riformularla meglio: io ho un gruppo $G$ , quello che mi chiedo è , c'è una distinzione fra i suoi sottogruppi? cioè esistono i suoi sottogruppi generati dai suoi elementi ed altri sottogruppi invece non generati dai suoi elementi?
La tua domanda non ha molto senso. In che modo un sottogruppo dovrebbe essere generato da qualcosa che non fa parte del gruppo? Un sottogruppo è generato da un suo sottoinsieme. Il suo insieme di generatori non è quando solo contenuto nel gruppo ma nel sottogruppo stesso. E sinceramente mi lascia molto perplesso il tuo dubbio. Che definizione usi per sottogruppo generato?
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