Ideali di $M_n(R)$
Sia $R$ un anello e considero l'anello delle matrici quadrate $M_n(R)$.
Come posso mostrare che vi e' una corrispondenza biunivoca tra l'insieme degli ideali bilateri di $R$ e l'insieme degli ideali bilateri di $M_n(R)$?
Avevo pensato di ricorrere al teorema di corrispondenza per anelli ma non riesco a capire se e come puo' tornarmi utile.
Come posso mostrare che vi e' una corrispondenza biunivoca tra l'insieme degli ideali bilateri di $R$ e l'insieme degli ideali bilateri di $M_n(R)$?
Avevo pensato di ricorrere al teorema di corrispondenza per anelli ma non riesco a capire se e come puo' tornarmi utile.
Risposte
E' solo un'idea, ma io proverei a far corrispondere all'ideale $I$ di $R$ l'insieme delle matrici in $M_n(R)$ che hanno tutti i coefficienti in $I$.
Ho che l'insieme delle matrici di $M_n(R)$ a coefficienti in $I$ e' un ideale bilatero di $M_n(R)$:
$(M_n(I),+)$ e' sottogruppo di $(M_n(R),+)$:
- la somma di matrici e' associativa;
- la matrice nulla $0_n$ appartiene a $M_n(I)$ in quanto sicuramente $0\inI$;
- se $A=(a_(i,j))_(1<=i,j<=n)\inM_n(I)$ allora $a_(i,j)\inI$ $AA1<=i,j<=n$, allora $-a_(i,j)\inI$ $AA1<=i,j<=n$, allora $-A\inM_n(I)$.
Se $A\inM_n(I)$ e $B\inM_n(R)$ allora $AB,BA\inM_n(I)$ in quanto ciascuna entrata di $AB$ e di $BA$ e' ottenuta come somma di prodotti tra un elemento di $R$ e un elemento di $I$ che quindi stanno in $I$.
Quindi la corrispondenza che mappa $I$ in ${A\inM_n(R)|a_(i,j)\inIAA1<=i,j<=n}$ manda ideali in ideali.
Come posso provare pero' che si tratta di una mappa suriettiva?
$(M_n(I),+)$ e' sottogruppo di $(M_n(R),+)$:
- la somma di matrici e' associativa;
- la matrice nulla $0_n$ appartiene a $M_n(I)$ in quanto sicuramente $0\inI$;
- se $A=(a_(i,j))_(1<=i,j<=n)\inM_n(I)$ allora $a_(i,j)\inI$ $AA1<=i,j<=n$, allora $-a_(i,j)\inI$ $AA1<=i,j<=n$, allora $-A\inM_n(I)$.
Se $A\inM_n(I)$ e $B\inM_n(R)$ allora $AB,BA\inM_n(I)$ in quanto ciascuna entrata di $AB$ e di $BA$ e' ottenuta come somma di prodotti tra un elemento di $R$ e un elemento di $I$ che quindi stanno in $I$.
Quindi la corrispondenza che mappa $I$ in ${A\inM_n(R)|a_(i,j)\inIAA1<=i,j<=n}$ manda ideali in ideali.
Come posso provare pero' che si tratta di una mappa suriettiva?
Prendi un ideale $J$ di $M_n(R)$ e provi a mostrare che detto $I$ l'insieme dei coefficienti degli elementi di $J$ si ha $J = M_n(I)$ e $I$ è un ideale di $R$.
Chiaramente $JsubeM_n(I)$ per la definizione di $I$.
Se $A\inM_n(I)$ allora $A=\sum_{i=1,j=1}^n a_(i,j)E_(i,j)$ (dove $E_(i,j)$ è la matrice che ha $1$ nell'entrata $(i,j)$ e $0$ nelle altre entrate) e $a_(i,j)\inI$ $AA1<=i,j<=n$, allora esiste una matrice $A^(i,j)\inJ$ tale che $(A^(i,j))_(\bari,\barj)=a_(i,j)$ $AA1<=i,j<=n$, allora $A=\sum_{i=1,j=1}^n E_(i,\bari)A^(i,j)E_(\barj,j)\inJ$, dunque $M_n(i)\subeJ$.
In conclusione, $J=M_n(I)$.
Rimane da provare che $I$ è ideale di $R$, ma questo è semplice se si osserva che per ogni $r\inI$ si ha che $r1_n\inJ$.
Grazie mille Martino!
Se $A\inM_n(I)$ allora $A=\sum_{i=1,j=1}^n a_(i,j)E_(i,j)$ (dove $E_(i,j)$ è la matrice che ha $1$ nell'entrata $(i,j)$ e $0$ nelle altre entrate) e $a_(i,j)\inI$ $AA1<=i,j<=n$, allora esiste una matrice $A^(i,j)\inJ$ tale che $(A^(i,j))_(\bari,\barj)=a_(i,j)$ $AA1<=i,j<=n$, allora $A=\sum_{i=1,j=1}^n E_(i,\bari)A^(i,j)E_(\barj,j)\inJ$, dunque $M_n(i)\subeJ$.
In conclusione, $J=M_n(I)$.
Rimane da provare che $I$ è ideale di $R$, ma questo è semplice se si osserva che per ogni $r\inI$ si ha che $r1_n\inJ$.
Grazie mille Martino!
Prego! 
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