Esponenziale di una matrice con putzer

[maury123]

Salve, sono giorni che provo a cercare in rete ma non trovo nulla a riguardo.
Sto studiando metodi matematici e probabilistici per ingegneria e sono incappato nel teorema di Putzer, ora per quanto riguarda la potenza di una matrice ho capito tutto ma non ho ben chiaro come si svolge l'esponenziale di una matrice.
Se possibile avrei un esercizio:

calolare esponenziale $e^(at)$ della seguente matrice.
$a=((3,-1),(1,1))$


Cordiali saluti

[Gi81]

L'esponenziale di una matrice è $e^a:= sum_{n=0}^(+oo) (a^n)/(n!)= I + a +a^2/2 +a^3/6+...$

[maury123]

"Gi8":L'esponenziale di una matrice è $e^a:= sum_{n=0}^(+oo) (a^n)/(n!)= I + a +a^2/2 +a^3/6+...$

quindi basta calcolare $a^n$ tramite putzer e dividerlo per n! giusto??

[Studente Anonimo]

quasi mi dimenticavo come si fa!

L'idea è che se la matrice (che chiamerò A) è diagonalizzabile allora sei a posto, infatti esiste P invertibile con $P^{-1}AP = D$ diagonale, ora usando la definizione verifichi facilmente che [tex]e^A = P e^D P^{-1}[/tex] (poi sarà tutto analogo per $At$). Ma $e^D$ è molto facile da calcolare, basta usare la definizione! Risulta che se $d_1,...,d_n$ sono gli elementi diagonali di $D$ allora $e^D$ è diagonale con elementi diagonali $e^{d_1},...,e^{d_n}$. Noterai che nel tuo caso la matrice non è diagonalizzabile.

Però la puoi portare in forma triangolare di Jordan, [tex]\left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} \right)[/tex]. A questo punto puoi scrivere questa matrice come $D+N$ dove $D$ è la matrice diagonale [tex]\left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right)[/tex] e $N$ è la matrice nilpotente [tex]\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)[/tex]. Inoltre $DN=ND$. Sotto queste condizioni si ha $e^A = e^{D+N} = e^D e^N$ (per questioni teoriche). Occhio, questo vale solo perché $D$ e $N$ commutano.

Ora $e^D$ la calcoli come ho scritto sopra ($D$ è diagonale), mentre $e^N$ è facile usando la definizione (siccome $N$ è nilpotente, viene un polinomio in $N$). In questo caso verrà $e^N = 1+N$.

Praticamente ti ho rifatto la teoria

Se poi vuoi usare l'algoritmo di Putzer guarda qui.