Esercizi di Induzione
Ciao a tutti ragazzi, ho due esercizi su induzione:
1. $2^n+logn-3^n+n<=0 AAninN$
2. $n^2>2n+1 AAn>=3$
Il primo esercizio l'ho fatto così:
$n=0$ la disequazione è falsa perché il $log0$ non esiste
$n=1$ la disequazione è vera
Supponiamo vera $2^n+logn-3^n+n<=0 AAn>=1$
Proviamo vera che $2^(n+1)+log(n+1)-3^(n+1)+n+1<=0$
Successivamente per le proprietà delle potenze e dei logaritmi:
$2^n*2+logn*log1-3^n*3+n+1<=0$
il prodotto trai i logaritmi fa 0 quindi posso riscrivere la disequazione come :
$2^n*2-3^n*3+n+1<=0$
Da qui in poi non saprei come andare avanti, mi verrebbe da dire che la disequazione è sempre vera perché c'è il $-3^n$ è corretto?
Il secondo esercizio invece lo risolto così:
$n=3$ la disequazione risulta vera
Supponiamo vera $n^2>2n+1 AAn>=3$
Proviamo che $(n+1)^2>2(n+1)+1$
Successivamente possiamo dire che:
$(n+1)^2=n^2+2n+1>2n+1+2n+1=4n+2=2(2n+1)>2(n+1)+1$ provando la tesi.
Potete aiutarmi per quanto riguarda il primo esercizio?
Per quanto riguarda il secondo esercizio è corretto?
Spero di essere stato chiaro.
Grazie mille a tutti anticipatamente
1. $2^n+logn-3^n+n<=0 AAninN$
2. $n^2>2n+1 AAn>=3$
Il primo esercizio l'ho fatto così:
$n=0$ la disequazione è falsa perché il $log0$ non esiste
$n=1$ la disequazione è vera
Supponiamo vera $2^n+logn-3^n+n<=0 AAn>=1$
Proviamo vera che $2^(n+1)+log(n+1)-3^(n+1)+n+1<=0$
Successivamente per le proprietà delle potenze e dei logaritmi:
$2^n*2+logn*log1-3^n*3+n+1<=0$
il prodotto trai i logaritmi fa 0 quindi posso riscrivere la disequazione come :
$2^n*2-3^n*3+n+1<=0$
Da qui in poi non saprei come andare avanti, mi verrebbe da dire che la disequazione è sempre vera perché c'è il $-3^n$ è corretto?
Il secondo esercizio invece lo risolto così:
$n=3$ la disequazione risulta vera
Supponiamo vera $n^2>2n+1 AAn>=3$
Proviamo che $(n+1)^2>2(n+1)+1$
Successivamente possiamo dire che:
$(n+1)^2=n^2+2n+1>2n+1+2n+1=4n+2=2(2n+1)>2(n+1)+1$ provando la tesi.
Potete aiutarmi per quanto riguarda il primo esercizio?
Per quanto riguarda il secondo esercizio è corretto?
Spero di essere stato chiaro.
Grazie mille a tutti anticipatamente
Risposte
mi sono fermata ad un grave errore sui logaritmi ...
"giupar93":
Supponiamo vera $2^n+logn-3^n+n<=0 AAn>=1$ qui ti posso dire che potresti scrivere per un certo $n$ o fino ad un certo $n$ o forme simili, altrimenti sembra che hai già dimostrato la tesi
Proviamo vera che $2^(n+1)+log(n+1)-3^(n+1)+n+1<=0$
Successivamente per le proprietà delle potenze e dei logaritmi:
$2^n*2+logn*log1-3^n*3+n+1<=0$
la proprietà "vera" dice che $log(a*b)=log a +log b$ e non "il contrario" come hai scritto tu!
il prodotto trai i logaritmi fa 0 quindi posso riscrivere la disequazione come :
$2^n*2-3^n*3+n+1<=0$
Da qui in poi non saprei come andare avanti, mi verrebbe da dire che la disequazione è sempre vera perché c'è il $-3^n$ è corretto?
"adaBTTLS":[/quote]
mi sono fermata ad un grave errore sui logaritmi ...
[quote="giupar93"]
Supponiamo vera $2^n+logn-3^n+n<=0 AAn>=1$ qui ti posso dire che potresti scrivere per un certo $n$ o fino ad un certo $n$ o forme simili, altrimenti sembra che hai già dimostrato la tesi
Proviamo vera che $2^(n+1)+log(n+1)-3^(n+1)+n+1<=0$
Successivamente per le proprietà delle potenze e dei logaritmi:
$2^n*2+logn*log1-3^n*3+n+1<=0$
la proprietà "vera" dice che $log(a*b)=log a +log b$ e non "il contrario" come hai scritto tu!
il prodotto trai i logaritmi fa 0 quindi posso riscrivere la disequazione come :
$2^n*2-3^n*3+n+1<=0$
Da qui in poi non saprei come andare avanti, mi verrebbe da dire che la disequazione è sempre vera perché c'è il $-3^n$ è corretto?
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Hai ragione mi sono distratto e ho sbagliato.
cosa intendi quando dici : "qui ti posso dire che potresti scrivere per un certo nn o fino ad un certo nn o forme simili, altrimenti sembra che hai già dimostrato la tesi"
intendo dire che se scrivi:
<=1$>>, vuol dire che l'hai dimostrata senza dimostrarla, l'hai supposta vera per tutti i numeri naturali da 1 all'infinito..., e allora che cosa devi dimostrare?
di solito, per dimostrare per induzione, dopo aver verificato che vale per un valore iniziale di "n", si suppone vera per un generico numero naturale ($n$), [cioè "solo per n", o, in alternativa, per tutti i numeri naturali "fino ad n", cioè $<=n$] e si dimostra che vale per il successivo ($n+1$): è la dimostrazione che non deve dipendere da un n particolare ma da un n generico che rende vera la proprietà per tutti i numeri naturali a partire dal primo...
è chiaro?
N.B.: dopo aver corretto l'errore, sei andato avanti con la dimostrazione?
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di solito, per dimostrare per induzione, dopo aver verificato che vale per un valore iniziale di "n", si suppone vera per un generico numero naturale ($n$), [cioè "solo per n", o, in alternativa, per tutti i numeri naturali "fino ad n", cioè $<=n$] e si dimostra che vale per il successivo ($n+1$): è la dimostrazione che non deve dipendere da un n particolare ma da un n generico che rende vera la proprietà per tutti i numeri naturali a partire dal primo...
è chiaro?
N.B.: dopo aver corretto l'errore, sei andato avanti con la dimostrazione?
Si si sono riuscito a risolvere alla fine. Ho scoperto che la disequazione era vera solo per indici dispari, mentre falsa per indici pari.
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