Dimostrare che un gruppo non è abeliano

[marzy91]

Buongiorno a tutti.
Se ho un epimorfismo di gruppi f:G ->H, con G gruppo infinito e H gruppo finito e so che H non è abeliano, come faccio a concludere che anche G non è abeliano?
Grazie

[Gi81]

Dato che $H$ non è abeliano, esistono $a,b in H$ tali che \( a * b \neq b *a \) (con \( * \) indico l'operazione di $H$).
Inoltre $f$ è epimorfismo, dunque esistono $g_a, g_b in G$ tali che $f(g_a)= a$ e $f(g_b)=b$.
Ebbene, si ha $g_a * g_b != g_b * g_a$ (infatti, se per assurdo fossero uguali, allora...)

[marzy91]

Se fossero uguali avrei $f(g_ag_b)=f(g_bg_a)$ e dato che f è un omomorfismo $f(g_a)f(g_b)=f(g_b)f(g_a)$, cioè $ab=ba$?