Dubbio sulla correttezza del procedimento (omomorfismi)
Dovevo determinare tutti gli omomorfismi da $Z_6$ a Aut ($Z_9$).
Ho calcolo innanzitutto Aut ($Z_9$) e ho trovato che vale $Z_2$ x $Z_2$. Ora per trovare tutti gli omomorfismi, ho trovato tutti i sottogruppi normali di $Z_6$, che sono il singoletto di zero , il gruppo stesso, $Z_3$, $Z_2$ (è corretto il mio ragionamento che in un gruppo abeliano ogni sottogruppo è normale?). Poi ho fatto $Z_6$ quozientato con ciascuno di questi sottogruppi e ho trovato i medesimi quattro sottogruppi. Ora devo cercare i sottogruppi di $Z_2$ x $Z_2$ che sono isomorfi a qualcuno dei quattro sottogruppi che ho trovato prima e sono il singoletto di zero e $Z_2$. Quindi tutti gli omomorfismi sono due per due, ovvero quattro.
Il procedimento non mi convince molto. Temo di avere sbagliato qualcosa coi sottogruppi.
Ho calcolo innanzitutto Aut ($Z_9$) e ho trovato che vale $Z_2$ x $Z_2$. Ora per trovare tutti gli omomorfismi, ho trovato tutti i sottogruppi normali di $Z_6$, che sono il singoletto di zero , il gruppo stesso, $Z_3$, $Z_2$ (è corretto il mio ragionamento che in un gruppo abeliano ogni sottogruppo è normale?). Poi ho fatto $Z_6$ quozientato con ciascuno di questi sottogruppi e ho trovato i medesimi quattro sottogruppi. Ora devo cercare i sottogruppi di $Z_2$ x $Z_2$ che sono isomorfi a qualcuno dei quattro sottogruppi che ho trovato prima e sono il singoletto di zero e $Z_2$. Quindi tutti gli omomorfismi sono due per due, ovvero quattro.
Il procedimento non mi convince molto. Temo di avere sbagliato qualcosa coi sottogruppi.
Risposte
La strategia e' corretta.
Ogni sottogruppo di un gruppo abeliano e' normale.
L'errore pero' sta proprio all'inizio. Infatti $Aut(ZZ_9)$ non e' isomorfo a $ZZ_2 \times ZZ_2$ ma e' isomorfo a $ZZ_6$. Infatti un automorfismo di $ZZ_9$ e' univocamente determinato dall'elemento in cui va il generatore $1$ di $ZZ_9$. Dal momento che un automorfismo e' suriettivo, $1$ deve andare in un altro generatore di $ZZ_9$. Il numero di generatori di $ZZ_9$ e' $6$ (uguale a $\phi(9)$, dove $\phi$ e' la $\phi$ di Eulero, cioe' il numero di interi $k <= 9$ coprimi con $9$).
Quindi $Aut(ZZ_9)$ ha ordine $6$. Puoi osservare che il morfismo $\sigma : 1 \mapsto 2$ in $ZZ_9$ ha in effetti ordine $6$.
Ogni sottogruppo di un gruppo abeliano e' normale.
L'errore pero' sta proprio all'inizio. Infatti $Aut(ZZ_9)$ non e' isomorfo a $ZZ_2 \times ZZ_2$ ma e' isomorfo a $ZZ_6$. Infatti un automorfismo di $ZZ_9$ e' univocamente determinato dall'elemento in cui va il generatore $1$ di $ZZ_9$. Dal momento che un automorfismo e' suriettivo, $1$ deve andare in un altro generatore di $ZZ_9$. Il numero di generatori di $ZZ_9$ e' $6$ (uguale a $\phi(9)$, dove $\phi$ e' la $\phi$ di Eulero, cioe' il numero di interi $k <= 9$ coprimi con $9$).
Quindi $Aut(ZZ_9)$ ha ordine $6$. Puoi osservare che il morfismo $\sigma : 1 \mapsto 2$ in $ZZ_9$ ha in effetti ordine $6$.
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