Dimostrare che la funzione è iniettiva
\( f:\quad N\longrightarrow N\quad tale\quad che\quad f\left( n \right) ={ n }^{ 2 }+2n+3\)
Risposte
$f(n)=(n+1)^2+2$. Prova a porre $f(n)=f(m)$ e deducine che $n=m$.
Grazie Mille !!! 
Figurati! 
Qualcuno sa dirmi se la dimostrazione della funzione sopra citata è corretta così?
$n^2 + 2n + 3 = m^2 + 2m + 3 rArr n^2 + (2n)/2 + 3 = m^2 + (2m)/2 + 3 rArr$
$n^2 + n + 3 = m^2 + m + 3 rArr sqrt(n^2) + n + 3 = sqrt(m^2) + m + 3 rArr$
$n + n + 3 = m + m + 3 rArr 2n + 3 = 2m + 3 rArr$
$(2n)/2 + 3 = (2m)/2 + 3 rArr n + 3 = m + 3 rArr$
$n = m$
$n^2 + 2n + 3 = m^2 + 2m + 3 rArr n^2 + (2n)/2 + 3 = m^2 + (2m)/2 + 3 rArr$
$n^2 + n + 3 = m^2 + m + 3 rArr sqrt(n^2) + n + 3 = sqrt(m^2) + m + 3 rArr$
$n + n + 3 = m + m + 3 rArr 2n + 3 = 2m + 3 rArr$
$(2n)/2 + 3 = (2m)/2 + 3 rArr n + 3 = m + 3 rArr$
$n = m$
Non è vero che $n^2 +2n+3 = m^2+2m+3$ implica $n^2 +(2n)/2 +3 = m^2 +(2m)/2 +3$.
Infatti ${(n=0),(m= -2):}$
verifica $n^2+2n+3=m^2+2n+3$ (perché valgono entrambi $3$), mentre
non verifica $n^2 +(2n)/2 +3 = m^2 +(2m)/2 +3$ (il primo vale $3$, il secondo vale $5$).
Infatti ${(n=0),(m= -2):}$
verifica $n^2+2n+3=m^2+2n+3$ (perché valgono entrambi $3$), mentre
non verifica $n^2 +(2n)/2 +3 = m^2 +(2m)/2 +3$ (il primo vale $3$, il secondo vale $5$).
Ti ringrazio per la segnalazione. Potresti dirmi passo passo come andrebbe svolta la dimostrazione di iniettività di questa funzione? In linea generale, correggimi se sbaglio, so che bisogna dedurre che $m = n$ ma come ci arrivo? Un'altra cosa: nel tuo post di sopra $m = -2$ non fa parte dell'insieme N, quindi non si potrebbe scegliere o sbaglio?
Dato che $n^2+2n+3= n^2+2n+1+2 = (n+1)^2+1$,
se $f(n)=f(m)$ allora $(n+1)^2+2=(m+1)^2+2$
sottraendo $2$ ad entrambi i membri si ha $(n+1)^2 =(m+1)^2$
estraendo la radice quadrata si ha $n+1=m+1$
sottraendo $1$ si ha $n=m$.
RIassumendo: $f(n)=f(m) => (n+1)^2+2=(m+1)^2+2 => n+1=m+1 => n=m$.
se $f(n)=f(m)$ allora $(n+1)^2+2=(m+1)^2+2$
sottraendo $2$ ad entrambi i membri si ha $(n+1)^2 =(m+1)^2$
estraendo la radice quadrata si ha $n+1=m+1$
sottraendo $1$ si ha $n=m$.
RIassumendo: $f(n)=f(m) => (n+1)^2+2=(m+1)^2+2 => n+1=m+1 => n=m$.
"GlassPrisoner91":
m=−2 non fa parte dell'insieme N, quindi non si potrebbe scegliere o sbaglio?
Non sbagli, ed infatti Gi8 glissa su questa questione. In effetti se $ n $ fosse un intero quella funzione non sarebbe iniettiva e quindi ogni dimostrazione che lo 'provasse' sarebbe errata.
Questo non toglie che la tua dimostrazione, condotta con manipolazioni di singoli addendi dell'espressione, presuppone implicitamente che le variazioni di questi siano concordi. Potrebbe portare a risultati sbagliati, ad esempio, su $ 4n^2-4n+3 $.
Ciao
B.
"GlassPrisoner91":(premetto una cosa: questa frase di GlassPrisoner91 è stata aggiunta al post in un secondo momento.
Un'altra cosa: nel tuo post di sopra $m = -2$ non fa parte dell'insieme N, quindi non si potrebbe scegliere o sbaglio?
io non l'avevo letta. quindi non ho fatto finta di non avere visto.)
Hai ragione, sono stato precipitoso. Dato che siamo nei naturali, non si può prendere $m= -2$.
Quello che volevo fare era dare un controesempio semplice. Cerco di spiegare meglio perché non è corretto il passaggio
$n^2+2n+3= m^2+2m+3 => n^2 +(2n)/2 +3= m^2+(2m)/2 +3$.
Semplicemente, non c'è alcuna regola algebrica che ti consente di fare quel passaggio.
In generale, se hai un'equazione, puoi moltiplicare entrambi i membri per un numero reale (diverso da $0$) e ottieni un'equazione equivalente (ad esempio, se hai l'equazione $n^2+2n+3 = m^2+2m+3$,
possiamo moltiplicare per $1/2$ e ottenere $(n^2+2n+3 )/2 = (m^2+2m+3)/2$,
cioè $1/2 n^2 +n +3/2 = 1/2 m^2 +m +3/2$, e questa equazione è equivalente a quella di partenza)
Invece non puoi moltiplicare per un numero reale (diverso da $0$) solo un termine a tua scelta, come hai fatto tu.
"Gi8":
(premetto una cosa: questa frase di GlassPrisoner91 è stata aggiunta al post in un secondo momento.
io non l'avevo letta. quindi non ho fatto finta di non avere visto.)
Quando un post viene modificato, la data di modifica viene indicata esplicitamente. Questa indicazione non compare ed allora i casi credo possano essere solo tre:
a) malfunzionamento del programma di gestione;
b) il post precedente è stato cancellato dall'autore e sostituito con quello che compare adesso (in questo caso però saresti stato avvertito dell'inserimento di un nuovo post mentre scrivevi la tua risposta);
c) non hai letto la richiesta finale.
Comunque sia, poco male, e se anche il termine 'glissa' non ti è gradito, lo ritiro. Sono uso cercare le positività negli interventi, ad esempio nella 'dimostrazione' di GlasPrisoner91, volendo esser dalla sua parte, si può legger un tentativo, mal spiegato, di questo tipo:
$ n^2 $ è una funzione crescente, $ 2n $ è una funzione crescente, quindi la loro somma, essendo sicuramente crescente, è pure iniettiva. Che, grosso modo..., mi pare accettabile, con tutte le riserve del caso.
Ciao
B.
Confermo che ho aggiunto in un secondo momento il discorso sul $-2$. Spero di non aver creato problemi. Credo di cominciare a capire come arrivare a $n = m$
Quindi per la funzione del nostro caso se non ho capito male la dimostrazione corretta è:
$f(n)=f(m)⇒(n+1)^2+2=(m+1)^2+2⇒n+1=m+1⇒n=m$
...ottenuta ovviamente con dei semplici passaggi algebrici che è inutile rispiegare.
Giusto? Intanto vi ringrazio del vostro tempo.
Quindi per la funzione del nostro caso se non ho capito male la dimostrazione corretta è:
$f(n)=f(m)⇒(n+1)^2+2=(m+1)^2+2⇒n+1=m+1⇒n=m$
...ottenuta ovviamente con dei semplici passaggi algebrici che è inutile rispiegare.
Giusto? Intanto vi ringrazio del vostro tempo.
"GlassPrisoner91":
Confermo che ho aggiunto in un secondo momento il discorso sul -2. Spero di non aver creato problemi
...ed allora, visto che non lo segnala, è il programma di gestione ad avere dei problemi.
Ciao
B.
"orsoulx":Questo accade se sono stati scritti altri post dopo. Se il post modificato è l'ultimo, non compare alcuna scritta.
Quando un post viene modificato, la data di modifica viene indicata esplicitamente.
Credo che sia successa una cosa del genere:
alle 22.09 GlassPrisoner91 ha scritto :
"Ti ringrazio per la segnalazione. Potresti dirmi passo passo come andrebbe svolta la dimostrazione di iniettività di questa funzione? In linea generale, correggimi se sbaglio, so che bisogna dedurre che $m=n$ ma come ci arrivo?"
e questo è ciò che io ho letto. ho cominciato a rispondere (diciamo alle 22.14), e intanto (diciamo alle 22.15) GlassPrisoner91 ha modificato il suo messaggio, aggiungendo:
"Un'altra cosa: nel tuo post di sopra $m= −2$ non fa parte dell'insieme N, quindi non si potrebbe scegliere o sbaglio?"
Poi io alle 22.17 ho inviato il messaggio. Dato che, diversamente da quanto succede quando viene postato un nuovo messaggio, quando viene modificato un messaggio precedente non arriva nessuna notifica a chi sta inviando il messaggio, io non mi sono accorto del pezzo aggiunto.
Ciao
B.
Per dimostrare l'iniettività di quest'altra funzione, il procedimento sotto descritto è corretto?
La funzione è $f(x) = x^3 + 6x^2 + 12x + 7$
Stiamo nel campo $Z$
$x^3 + 6x^2 + 12x + 7 = y^3 + 6y^2 + 12y + 7 rArr x^3 + 6x^2 + 12x = y^3 + 6y^2 + 12y rArr$
$x^3 + 6x^2 + x = y^3 + 6y^2 + y rArr x^3 + x^2 + x = y^3 + y^2 + y rArr$
$x + x^2 + x = y + y^2 + y rArr x + x + x = y + y + y rArr 3x = 3y rArr x = y$
Ecco i passaggi fatti (in ordine):
1) ho tolto i $+7$
2) ho usato la proprietà di cancellabilità a sinistra rispetto al prodotto, eliminando quindi il $12$
3) ho di nuovo usato la proprietà del punto precendente, togliendo così il $6$
4) ho estratto la radice cubica di $x^3$ ottenendo quindi solo $x$
5) ho estratto la radice quadrata di $x^2$ ottenendo quindi solo $x$
6) infine ho fatto la somma delle incognite ottenendo $3x$ e poi togliendo il $3$ davanti usando la proprietà al punto 2
Il tutto è corretto per dimostrare l'iniettività di questa funzione? Grazie per la pazienza.
La funzione è $f(x) = x^3 + 6x^2 + 12x + 7$
Stiamo nel campo $Z$
$x^3 + 6x^2 + 12x + 7 = y^3 + 6y^2 + 12y + 7 rArr x^3 + 6x^2 + 12x = y^3 + 6y^2 + 12y rArr$
$x^3 + 6x^2 + x = y^3 + 6y^2 + y rArr x^3 + x^2 + x = y^3 + y^2 + y rArr$
$x + x^2 + x = y + y^2 + y rArr x + x + x = y + y + y rArr 3x = 3y rArr x = y$
Ecco i passaggi fatti (in ordine):
1) ho tolto i $+7$
2) ho usato la proprietà di cancellabilità a sinistra rispetto al prodotto, eliminando quindi il $12$
3) ho di nuovo usato la proprietà del punto precendente, togliendo così il $6$
4) ho estratto la radice cubica di $x^3$ ottenendo quindi solo $x$
5) ho estratto la radice quadrata di $x^2$ ottenendo quindi solo $x$
6) infine ho fatto la somma delle incognite ottenendo $3x$ e poi togliendo il $3$ davanti usando la proprietà al punto 2
Il tutto è corretto per dimostrare l'iniettività di questa funzione? Grazie per la pazienza.
No Glassprisoner non sono passaggi leciti. Io mostrerei che la funzione data è strettamente crescente calcolandone la derivata. Le funzioni strettamente crescenti sono iniettive.
Come si dimostra che è strettamente crescente calcolandone la derivata? In genere come si fa? Non solo per questa funzione... ti ringrazio...
\( 7 = 8 - 1 \) e \( (A + B)^{3} = A^{3} + 3A^{2}B + 3AB^{2} + B^{3} \).
P.S.
\( \mathbb{Z} \) è un anello ma non è un campo.
P.S.
\( \mathbb{Z} \) è un anello ma non è un campo.
Oddio... come è stato ricavato tutto ciò? 
Mi dovete scusare ma non ho mai visto una cosa del genere 
Mi dovete scusare ma non ho mai visto una cosa del genere
Non ho capito la domanda.
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