Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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ciao a tutti, volevo chiedervi come si definisce, o se esiste un modo per definire, l'insieme delle parti di un insieme infinito. Per un insieme finito di $n$ posso riconoscere e dunque enumerare tutti i suoi sottoinsiemi (ne sono $2^n$ compresi quello vuoto e l'insieme stesso), invece per un insieme infinito come stanno le cose??
Mi aiutereste con un esempio di sottoanello? Sono all'inizio e non mi sono chiare alcune cose di base.
1) Il libro dice: "Sia $α=±sqrt(-5)=±√5, i∈C$ radice del polinomio $X^2+5$".
Ho trovato, per gli elementi di A, la forma $a + sqrt(5)bi$. E' giusto?
2) Libro: "$A = ℤ[ √(-5)] ⊂ ℂ$ è un sottoanello dunque un dominio."
Perché "sottoanello dunque dominio"? Al di dà di quel "dunque", ho provato a dimostrare che A è un dominio: è un anello commutativo unitario, ma non riesco a dimostrare ...
Provare con l'induzione che 1(1!) + 2(2!) + ... + n(n!) = (n + 1)! - 1
Sono arrivato a
1(1!) + 2(2!) + ... + n(n!) + (n+1)(n+1!) = (n+1)! - 1 + (n+1)(n+1!)
non riesco più ad andare avanti !!
Ho trovato su internet una soluzione ma non la capisco :
= (k + 1)! - 1 + (k + 1)(k + 1)!
= (k + 2)(k + 1)! - 1
= (k + 2)! - 1
= [(k + 1) + 1]! - 1
o meglio non capisco come passa da (k + 1)! - 1 + (k + 1)(k + 1)! a (k + 2)(k + 1)! - 1
Salve, domani ho la seconda prova intercorso di Metodi Matematici Per l'informatica e non mi è chiara l'induzione forte/completa!
Ad esempio:
P(n): "Un'affrancatura di n centesimi può essere composta da francobolli di 3 centesimi e francobolli di 5 centesimi". L'esercizio ha l'obbiettivo di dimostrare che P(n) è vera per ogni n ≥ 8!
We
Volevo sapere cosa si intendesse per 'ben poste'.
Ad esempio cosa si intende, per dire, che le operazioni definite su $ZZ_n$ sono ben poste?
In linea di massima so che ci colpano i rappresentanti delle varie classi.
Ciao a tutti! Mia figlia ha avuto difficoltà a risolvere un problema e mi ha chiesto aiuto: dopo vari tentativi sono venuto alla conclusione che il libro presentava un problema di stampa. Invece tornando da scuola se ne viene dicendo che la professoressa l'ha risolto senza nessun problema! Ve lo sottopongo per capire dove posso aver sbagliato, o se invece ha sbagliato la professoressa ed il libro.... eccolo:
Un'azienda agricola decide di vendere il latte direttamente al consumatore; mette ...
We
Ho un problema con l'assimilare questa forma del principio di induzione, viene utilizzato per molte dimostrazioni nel mio libro, ad esempio: divisione euclidea, divisioni successive, MCD. Che mi servono per passare alle congruenze.
Ogni sottoinsieme $VsubseteqNN$ tale che
$(a).$ $0inV$
$(b).$ $ninV$ ogniqualvolta $kinV, forallk:0leqk<n$
allora $V=NN$
Vedo di fare qualche passo.. considero $V={ninNN:p(n)$ è ...
We
Dimostrare per esercizio:
Supposto che siano $a^hequiv1(modn)wedgea^kequiv1(modn)$
allora è vero che $a^(MCD(h,k))equiv1(modn)$?
Io ci sono andato così:
Intanto possiamo supporre che sia $d=MCD(h,k)$ e $d|hwedged|k$
Certamente il $MCD$ è un sottomultiplo di entrambi tale che $d=h/(h')wedged=k/(k')$
Dunque so per certo che entrambe le scritture hanno senso su $ZZ$
Chiamo $1/(h')=u$ ... $d=hu$
Dunque basta prendere una delle due $a^hequiv1(modn)$
Applicando una ...
Chi mi aiuta a stanare il granchio che ho preso in questo ragionamento?
Devo dimostrare che un monoide finito che soddisfa la legge di cancellazione è un gruppo.
Per induzione sul numero di $n$ degli elementi del monoide $(A, *)$:
1) Base induttiva: se $n = 1$, allora $A = {e}$ dove $e$ è l'elemento neutro: si verifica che la proposizione è vera
2) Suppongo che la proposizione valga per qualsiasi monoide di $n$ elementi ...
Salve a tutti. Sono iscritto al forum da 3 anni ma non partecipo attivamente spesso; tuttavia "mi affaccio" assiduamente per risolvere dubbi che sorgono dallo studio di varie materie. Ma veniamo al nocciolo della questione. Ultimamente ho iniziato a studiare (per diletto) Logica matematica e utilizzo il libro di Elliot Mendelson, "Introduzione alla Logica Matematica", Bollati Boringhieri. La questione è la seguente. Considerate una teoria formale assiomatica $L$ per il calcolo ...
Salve,
Dovrei dimostrare la seguente relazione:
$F_h>c^h$ con $c>1$ e $h>2$.
Credo di doverlo dimostrare con il principio di induzione su $h$. Inoltre il libro mi dice che $F_h>(\phi^h-1)/sqrt(5)$
Per quanto riguarda la base, credo basti trovare una $c$ per cui $F_h>(\phi^3-1)/sqrt(5)>c^3$. Giusto?
Per quanto riguarda il passo induttivo, devo supporre vera l'affermazione per $F_(h-1)$ e $F_(h-2)$. Quindi:
$F_h=F_(h-1)+F_(h-2)>c^(h-1)+c^(h-2)$. Però qui mi ...
Esercizio. Determinare il gruppo di Galois del polinomio $$f(x)=(x^4-5x^2+6)(x^2+2x-1)(x^2-2x+2)$$
su $F=QQ(\sqrt{2})[x]$.
Le radici di $f$ che non stanno in $F$ sono: $\pm \sqrt{5}, \pm \sqrt{6}, 1\pm i$, quindi il campo di spezzamento di $f$ è $K=QQ(\sqrt{2},i,\sqrt{3},\sqrt{5})$, per determinare $Gal(K,F)$ basta vedere come si comportano gli automorfismi sugli elementi $\sqrt{3}, i, \sqrt{5}$, ogni automorfismo deve scambiare ognuno di questi elementi con ...
Ciao a tutti, sto studiando "Introduzione alla logica matematica" di Elliot Mendelson. Come alcuni sanno l'introduzione del testo tratta alcuni argomenti che verranno poi utilizzati in seguito, tra i quali, appunto, il principio di induzione. In realtà vengono citati due "tipi" di principi di induzione: il principio di induzione matematica e il principio di induzione completa. Tuttavia il mio dubbio non riguarda tanto le due versioni del principio, quanto piuttosto una specifica frase, di cui ...
Ciao a tutti! ho questo esercizio assegnato per "toccare con mano" la definizione di algebra di insiemi, ma non capisco bene cosa devo verificare:
"Sia $ mathcalA $ un’algebra di insiemi: verificare che il motivo del nome algebra sta nel fatto che $ mathcalA $ è effettivamente un’algebra commutativa, con elemento unitario rispetto alla moltiplicazione, rispetto alle operazioni di
differenza simmetrica $ ADelta B:= (Ann bar(B))uu (bar(A)nn B) $
ed
intersezione $ AnnB $
il suggerimento dice di ...
Esercizio. Sia $K$ il campo di spezzamento di un polinomio $f(x) ∈ F[x]$ ($F$ campo) con radici tutte distinte. Dimostrare che l’azione del gruppo di Galois $Gal(K,F)$ sulle radici di $f(x)$ è transitiva (cioè c' è una sola orbita) se e soltanto se $f(x)$ è irriducibile su $F$.
Dim. ( $\Rightarrow$). Sia $R={\alpha_1,\alpha_2, \cdots, \alpha_{n-1},\alpha_n}$ l'insieme delle radici di $f$ e sia $\mu: R \times Gal(K,F) \mapsto R$ che manda la coppia ...
Dopo aver calcolato gli autovalori del polinomio caratteristico della matrice seguente:
\(\displaystyle
\left( \begin{array}{lll}
0 & 1 & -1 \\
1 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & 0 \end{array} \right)
\)
che sono \(\displaystyle \lambda = -2 (singolo) , \lambda = 1 (doppio) \)
Mi ritrovo a dover calcolare se la matrice e diagonalizzabile, per farlo devo verificare che esista una base formata da autovettori di t.
Il problema e ricavare gli autovettori, infatti non riesco a risolvere il sistema ...
Devo dimostrare tutte le proprietà: commutativa, associativa e dell'esistenza di un elemento neutro su $NN$
intanto so che $sigma(n+m)=((sigma(n)+m)dotvee(n+sigma(m))), foralln,m inNN$
elemento neutro $a+0=a forallainNN$
procedo per induzione su $a$
$p(0): 0+0=0$ vera. Supposta vera per $a=n$ dimostro che è vera per $a=sigma(n)$
$p(sigma(n)): sigma(n)+0=sigma(n) => sigma(n+0)=sigma(n)$ uso ipotesi induttive $n+0=n$ ...
$sigma(n)=sigma(n) => a=a$ tesi.
associatività $(a+b)+c=a+(b+c), forall a,b,cinNN$
procedo per induzione su ...
Esercizio. Stabilire se è possibile trisecare $2\pi/20$ e $2\pi/7$ con riga e compasso.
$2\pi/20$ si vede facilmente che non è possibile trisecare con riga e compasso poiché $\cos(2\pi/60)$ annulla un polinomio irriducibile di $QQ[x]$ di 12° grado. Ma l'altro angolo non riesco a trovare un polinomio nemmeno con wolfram.
We
si considerino due insiemi $A,B$ di elementi rispettivamente $n,m$.
Se è $nleqm$(si spieghi perché) si contino le funzioni iniettive tra $A$ e $B$
Il 'si spieghi perché' è abbastanza semplice, infatti se $n>m$ dovendo assegnare ad ogni $ainA$ l'unico elemento $binB$ si avrebbe che una volta assegnati $m$ elementi dell'insieme $A$, ne rimarrebbero ancora ...
Salve a tutti,a breve sosterrò una prova di Matematica disxreta e stavo provando a fare un esercizio.
L'esercizio è il seguente.
Dati 4 vettori : v1 (1,1,2) v2 (2,4,6) v3 (1,2,5) v4 (1,1,10) dire se v4 si può scrivere come combinazione lineare degli altri 3.
Allora io ho ragionato cosi. Intanto ho visto se vale il teorema di rauche-capelli
Risolvendo la matrice ottengo che è compatibile quindi il sistema ammette soluzioni. In questo caso è una e una sola. Dato che il sistema ammette soluzioni ...
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