Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Chi mi aiuta a stanare il granchio che ho preso in questo ragionamento?
Devo dimostrare che un monoide finito che soddisfa la legge di cancellazione è un gruppo.
Per induzione sul numero di $n$ degli elementi del monoide $(A, *)$:
1) Base induttiva: se $n = 1$, allora $A = {e}$ dove $e$ è l'elemento neutro: si verifica che la proposizione è vera
2) Suppongo che la proposizione valga per qualsiasi monoide di $n$ elementi ...
Salve a tutti. Sono iscritto al forum da 3 anni ma non partecipo attivamente spesso; tuttavia "mi affaccio" assiduamente per risolvere dubbi che sorgono dallo studio di varie materie. Ma veniamo al nocciolo della questione. Ultimamente ho iniziato a studiare (per diletto) Logica matematica e utilizzo il libro di Elliot Mendelson, "Introduzione alla Logica Matematica", Bollati Boringhieri. La questione è la seguente. Considerate una teoria formale assiomatica $L$ per il calcolo ...
Salve,
Dovrei dimostrare la seguente relazione:
$F_h>c^h$ con $c>1$ e $h>2$.
Credo di doverlo dimostrare con il principio di induzione su $h$. Inoltre il libro mi dice che $F_h>(\phi^h-1)/sqrt(5)$
Per quanto riguarda la base, credo basti trovare una $c$ per cui $F_h>(\phi^3-1)/sqrt(5)>c^3$. Giusto?
Per quanto riguarda il passo induttivo, devo supporre vera l'affermazione per $F_(h-1)$ e $F_(h-2)$. Quindi:
$F_h=F_(h-1)+F_(h-2)>c^(h-1)+c^(h-2)$. Però qui mi ...
Esercizio. Determinare il gruppo di Galois del polinomio $$f(x)=(x^4-5x^2+6)(x^2+2x-1)(x^2-2x+2)$$
su $F=QQ(\sqrt{2})[x]$.
Le radici di $f$ che non stanno in $F$ sono: $\pm \sqrt{5}, \pm \sqrt{6}, 1\pm i$, quindi il campo di spezzamento di $f$ è $K=QQ(\sqrt{2},i,\sqrt{3},\sqrt{5})$, per determinare $Gal(K,F)$ basta vedere come si comportano gli automorfismi sugli elementi $\sqrt{3}, i, \sqrt{5}$, ogni automorfismo deve scambiare ognuno di questi elementi con ...
Ciao a tutti, sto studiando "Introduzione alla logica matematica" di Elliot Mendelson. Come alcuni sanno l'introduzione del testo tratta alcuni argomenti che verranno poi utilizzati in seguito, tra i quali, appunto, il principio di induzione. In realtà vengono citati due "tipi" di principi di induzione: il principio di induzione matematica e il principio di induzione completa. Tuttavia il mio dubbio non riguarda tanto le due versioni del principio, quanto piuttosto una specifica frase, di cui ...
Ciao a tutti! ho questo esercizio assegnato per "toccare con mano" la definizione di algebra di insiemi, ma non capisco bene cosa devo verificare:
"Sia $ mathcalA $ un’algebra di insiemi: verificare che il motivo del nome algebra sta nel fatto che $ mathcalA $ è effettivamente un’algebra commutativa, con elemento unitario rispetto alla moltiplicazione, rispetto alle operazioni di
differenza simmetrica $ ADelta B:= (Ann bar(B))uu (bar(A)nn B) $
ed
intersezione $ AnnB $
il suggerimento dice di ...
Esercizio. Sia $K$ il campo di spezzamento di un polinomio $f(x) ∈ F[x]$ ($F$ campo) con radici tutte distinte. Dimostrare che l’azione del gruppo di Galois $Gal(K,F)$ sulle radici di $f(x)$ è transitiva (cioè c' è una sola orbita) se e soltanto se $f(x)$ è irriducibile su $F$.
Dim. ( $\Rightarrow$). Sia $R={\alpha_1,\alpha_2, \cdots, \alpha_{n-1},\alpha_n}$ l'insieme delle radici di $f$ e sia $\mu: R \times Gal(K,F) \mapsto R$ che manda la coppia ...
Dopo aver calcolato gli autovalori del polinomio caratteristico della matrice seguente:
\(\displaystyle
\left( \begin{array}{lll}
0 & 1 & -1 \\
1 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & 0 \end{array} \right)
\)
che sono \(\displaystyle \lambda = -2 (singolo) , \lambda = 1 (doppio) \)
Mi ritrovo a dover calcolare se la matrice e diagonalizzabile, per farlo devo verificare che esista una base formata da autovettori di t.
Il problema e ricavare gli autovettori, infatti non riesco a risolvere il sistema ...
Devo dimostrare tutte le proprietà: commutativa, associativa e dell'esistenza di un elemento neutro su $NN$
intanto so che $sigma(n+m)=((sigma(n)+m)dotvee(n+sigma(m))), foralln,m inNN$
elemento neutro $a+0=a forallainNN$
procedo per induzione su $a$
$p(0): 0+0=0$ vera. Supposta vera per $a=n$ dimostro che è vera per $a=sigma(n)$
$p(sigma(n)): sigma(n)+0=sigma(n) => sigma(n+0)=sigma(n)$ uso ipotesi induttive $n+0=n$ ...
$sigma(n)=sigma(n) => a=a$ tesi.
associatività $(a+b)+c=a+(b+c), forall a,b,cinNN$
procedo per induzione su ...
Esercizio. Stabilire se è possibile trisecare $2\pi/20$ e $2\pi/7$ con riga e compasso.
$2\pi/20$ si vede facilmente che non è possibile trisecare con riga e compasso poiché $\cos(2\pi/60)$ annulla un polinomio irriducibile di $QQ[x]$ di 12° grado. Ma l'altro angolo non riesco a trovare un polinomio nemmeno con wolfram.
We
si considerino due insiemi $A,B$ di elementi rispettivamente $n,m$.
Se è $nleqm$(si spieghi perché) si contino le funzioni iniettive tra $A$ e $B$
Il 'si spieghi perché' è abbastanza semplice, infatti se $n>m$ dovendo assegnare ad ogni $ainA$ l'unico elemento $binB$ si avrebbe che una volta assegnati $m$ elementi dell'insieme $A$, ne rimarrebbero ancora ...
Salve a tutti,a breve sosterrò una prova di Matematica disxreta e stavo provando a fare un esercizio.
L'esercizio è il seguente.
Dati 4 vettori : v1 (1,1,2) v2 (2,4,6) v3 (1,2,5) v4 (1,1,10) dire se v4 si può scrivere come combinazione lineare degli altri 3.
Allora io ho ragionato cosi. Intanto ho visto se vale il teorema di rauche-capelli
Risolvendo la matrice ottengo che è compatibile quindi il sistema ammette soluzioni. In questo caso è una e una sola. Dato che il sistema ammette soluzioni ...
Avrei bisogno di aiuto nel provare il seguente fatto.
Sia $P$ un p_gruppo, con $|P|=p^n$ , $p$ numero primo.
Suppongo che $P$$/Z(P)$ sia un gruppo nilpotente con classe di nilpotente $k$ e vorrei provare che la classe di nilpotenza di $P$ è $k+1$.
Il mio tentativo:
Chiamo $Z=Z(P)$.
Per ipotesi so che $P/Z=Z_k(P/Z)$, dove $Z_k(P/Z)$ è l'ultimo termine della serie ...
Dato un gruppo $(G,\cdot)$ e due suoi sottogruppi $(H,\cdot)$ e $(K,\cdot)$ si dimostra che $(HK,\cdot)$ è un sottogruppo se e solo se $HK=KH$; è però possibile che si abbia $HK \ne KH$ e $(HK \cup KH, \cdot)$ sottogruppo di $(G,\cdot)$?
grazie
Sempre dagli appunti.
" I sottogruppi normali servono per fare i quozienti e, in particolare, sono i nuclei degli omomorfismi"
La prima parte oltre a significare che i sottogruppi normali ripartiscono il gruppo in classi e quindi posso pensare al quoziente, cosa vuole dirmi?
La seconda parte invece sta ad indicare che se ho un omomorfismo di gruppi da G in G' allora andrò a ricercare il ker dell'omomorfismo tra i sottogruppi normali di G, giusto?
Esercizio. Dimostrare che tutti e soli i polinomi irriducibili su $ZZ_p[x]$ di grado uguale ad un divisore di $n$ sono fattori irriducibili del polinomio $x^{p^n}-x$.
Lemma. Sia $d|n$ allora $x^{p^d}-x | x^{p^n}-x$.
dim. Poniamo $n=kd$. Basta far vedere (credo) che se $\alpha$ è una radice di $x^{p^d}-x$ allora lo è anche per $x^{p^{kd}}-x$, infatti sia $K$ il campo di spezzamento di $x^{p^d}-x$, basta ...
Ciao a tutti,
è da alcuni giorni che sto tentando di risolvere il seguente esercizio di Teoria dei Modelli ma non ne vado fuori. So che è una sezione della matematica abbastanza specifica, ma spero che qualcuno riesca ad aiutarmi.
La richiesta è la seguente:
Sia $K$ un campo. Lavorare nel linguaggio $L={+,-,0}\cup{f_k : k\in K}$ dove ogni $f_k$ è un simbolo di funzione unaria.
Mostrare che la teoria $T_\infty$ dei $K$-spazi vettoriali infiniti è ...
Sia:
$M={( ( a , -b ),( b , a ) )$ a coefficienti reali, invertibili $}$
mostrare che $M$ è isomorfo a $CC$
Ora, si vede facilmente che $AA A in M, A=aI+bJ$ dove $I=identità, J=( ( 0 , -1 ),( 1 , 0 ) ) $
L'applicazione:
$f:M->CC$ t.c. $f(aI+bJ)=a+bi$
è un isomorfismo di anelli?
Il problema è che non c'è la matrice $O_2$ in $A$ perché non è invertibile... Se aggiungo lei potrei avere che ho un isomorfismo... però a quel punto c'è una matrice non ...
Buondì
Sto studiando questo teorema:
le classi di equivalenza di un insieme $A$ costituiscono una partizione di $A$
Per 'le classi di equivalenza' si intende l'insieme quoziente di $A$?
Cioè la formulazione: l'insieme quoziente di $A$ è una partizione di $A$ è equivalente?
Buon giorno a tutti,scusate la domanda banale ma ho cercato informazioni e non ho trovato nulla a riguardo.Volevo sapere se era stata trovata una formula che indicasse i quanti numeri sono coprimi rispetto un certo numero $ n $ ,senza ricorrere alla conoscenza dei numeri primi coprimi a $ n $.grazie
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