Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
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Domande e risposte
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Esercizio. Dimostrare che tutti e soli i polinomi irriducibili su $ZZ_p[x]$ di grado uguale ad un divisore di $n$ sono fattori irriducibili del polinomio $x^{p^n}-x$.
Lemma. Sia $d|n$ allora $x^{p^d}-x | x^{p^n}-x$.
dim. Poniamo $n=kd$. Basta far vedere (credo) che se $\alpha$ è una radice di $x^{p^d}-x$ allora lo è anche per $x^{p^{kd}}-x$, infatti sia $K$ il campo di spezzamento di $x^{p^d}-x$, basta ...
Ciao a tutti,
è da alcuni giorni che sto tentando di risolvere il seguente esercizio di Teoria dei Modelli ma non ne vado fuori. So che è una sezione della matematica abbastanza specifica, ma spero che qualcuno riesca ad aiutarmi.
La richiesta è la seguente:
Sia $K$ un campo. Lavorare nel linguaggio $L={+,-,0}\cup{f_k : k\in K}$ dove ogni $f_k$ è un simbolo di funzione unaria.
Mostrare che la teoria $T_\infty$ dei $K$-spazi vettoriali infiniti è ...
Sia:
$M={( ( a , -b ),( b , a ) )$ a coefficienti reali, invertibili $}$
mostrare che $M$ è isomorfo a $CC$
Ora, si vede facilmente che $AA A in M, A=aI+bJ$ dove $I=identità, J=( ( 0 , -1 ),( 1 , 0 ) ) $
L'applicazione:
$f:M->CC$ t.c. $f(aI+bJ)=a+bi$
è un isomorfismo di anelli?
Il problema è che non c'è la matrice $O_2$ in $A$ perché non è invertibile... Se aggiungo lei potrei avere che ho un isomorfismo... però a quel punto c'è una matrice non ...
Buondì
Sto studiando questo teorema:
le classi di equivalenza di un insieme $A$ costituiscono una partizione di $A$
Per 'le classi di equivalenza' si intende l'insieme quoziente di $A$?
Cioè la formulazione: l'insieme quoziente di $A$ è una partizione di $A$ è equivalente?
Buon giorno a tutti,scusate la domanda banale ma ho cercato informazioni e non ho trovato nulla a riguardo.Volevo sapere se era stata trovata una formula che indicasse i quanti numeri sono coprimi rispetto un certo numero $ n $ ,senza ricorrere alla conoscenza dei numeri primi coprimi a $ n $.grazie
Esercizio. Dimostrare che se $\alpha$ è un elemento algebrico di grado dispari $d$ su un campo $F$ allora $F(\alpha)=F(\alpha^2)$.
Dim.(proposta) Consideriamo il caso non banale $d>1$, certamente $\alpha^2 \in F(\alpha)$, dunque $F(\alpha) supe F(\alpha^2) sup F$, ovvero $[F(\alpha^2) : F] \leq d$ e $[F(\alpha^2) : F] | d$, tuttavia se $[F(\alpha^2) : F] <d/2$ si avrebbe che $\alpha$ annulla un polinomio in $F[x]$ di grado minore di $d$, quindi ...
ebbene si sono anche quì ora
ho cominciato a studiare algebra e sto facendo in particolare le relazioni.
Guardando un video sono entrato in crisi esistenziale.
Parlando della transitività(scrivo $delta=$relazione):
sia $deltasubseteqA^2$ una relazione $delta$ definita su $A$
se $a delta b wedge b delta c => adeltac, foralla,b,cinA$ si definisce transitiva(ovviamente).
traduco in breve il problema $A={1,2,3,...,n}$ e $delta_A={(1,1),(2,2),(3,3),...,(n,n)}$
alla relazione si aggiunge ...
Sia $R$ una relazione binaria sull'insieme $A$.
Definizione 1:
Si definisce la chiusura riflessiva e transitiva di $R$ come $\barR=nn_{R\subeS, "S riflessiva", "S transitiva"}S$.
Definizione 2:
Si definisce la chiusura riflessiva e transitiva di $R$ come la (più piccola) relazione definita per induzione mediante le regole:
- $\barR(a,a)$ $AAa\inA$;
- se $R(a,b)$ allora $\barR(a,b)$;
- se $\barR(a,b)$ e $\barR(b,c)$ allora ...
Rileggo gli appunti e trovo questa frase:
"Se N è normale in G allora non è vero che gli elementi di G commutano con i singoli elementi di N ma commutano con l'insieme N"
vuole intendere che gli oggetti di G non commutano con alcuni elementi di N ma con tutti, e quindi con N stesso, in virtù del fatto che essere Normale vuol dire gN=Ng? Giusto?
Buonasera a tutta la fantastica Community!
Dunque, stò affrontando il seguente esercizio e devo dire che mi sta dando particolari problemi. Il testo è il seguente:
[size=150]"[/size] Si consideri la successione data da
$ { ( a_0=1 ),( a_1 = 1 ),( a_n=a_(n-2)+n ):} $
A) Trovare, motivando la risposta, il più piccolo numero $ n_0 in mathbb(N) $ tale che, per ogni $ n >= n_0 $, vale $ a_n >= 2n $.
B) Trovare una formula per $a_n$. [size=150]"[/size]
Per quanto riguarda il punto A) attualmente non lo stò ...
Log x+2= (log x)^2
É in base 10
Salve a tutti!
Mi sono imbattuto su alcuni esercizi di algebra lineare, ed in particolare su questa dimostrazione:
"Ogni funzione lineare f: R^2 → R^3 è iniettiva" .
Ho notato che una funzione lineare di questo tipo non può essere di tipo suriettivo, perché per il teorema della dimensione si avrebbe che la dimensione del nucleo = - 1 (il che è impossibile), inoltre ho provato a impostare la dimostrazione per assurdo (ovvero "Ogni funzione lineare f: R2 → R3 non è iniettiva" ).
Così ...
Lemma: Tutti i cavalli sono dello stesso colore.
Dimostrazione (per induzione):
Caso n=1: in un insieme di un solo cavallo, è ovvio che tutti i cavalli di quell'insieme sono dello stesso colore.
Caso n=k: supponiamo di avere un insieme di k+1 cavalli. Togliamone uno dall'insieme così abbiamo k cavalli. Supponiamo inoltre che questi cavalli siano dello stesso colore. Ora rimettiamo nell'insieme il cavallo che avevamo tolto e togliamo un altro cavallo. Supponiamo che anche in questo nuovo insieme ...
La domanda di calcolo combinatorio/logica elementare è la seguente: in quanti modi, in un predicato a 3 variabili, si possono quantificare tutte e 3 le variabili? (naturalmente ottenendo proposizioni che abbiano significato diverso!)
Io ho ragionato così: i modi di permutare le 3 variabili sono 3!, per ciascuna di queste permutazioni posso disporre i quantificatori in 8 modi. In totale ho 48 configurazioni, che si dividono in due classi:
- quelle con 3 quantificatori uguali
- quelle con 2 ...
Il mio libro riporta il principio di induzione nel seguente modo:
$[p(0)^^AAn[p(n)->p(n+1)]}->AAnp(n)$ $ninN$
1)Adesso mi chiedo perchè nelle dimostrazioni, quando si sceglie l'elemento generico con cui dimostrare il passo induttivo, esso viene scelto uguale a n? In base alla logica matematica non dovrebbe essere diverso.
Io so che per il quantificatore universale vale la seguente regola di inferenza:
$(P(a))/(AAxP(x))$ purchè P(a) sia ricavata da precedenti premesse universali.
Come potete ...
Ciao a tutti!
Sono in difficoltà con questo esercizio di Logica:
Dimostrare che non esiste alcuna formula al prim'ordine che valga esattamente sulle strutture numerabili.
Innanzitutto io ho interpretato quel "vale esattamente" come "vale su tutte e sole" le strutture numerabili. (Vi sembra corretto?) Inoltre mi sembra che convenga usare il Teorema di Compattezza e mostrare che una formula che valga in tutte le strutture numerabili, sia soddisfatta anche da altre strutture.
Ho provato a ...
Buongiorno a tutta la Community
Ho bisogno di aiuto nel risolvere questo problema, non so veramente dove andare a parare!
Il testo è il seguente
[size=150]
Dimostrare che per ogni $ n $ intero positivo, esistono almeno $ n $ numeri primi distinti che dividono il numero $ 2^(2^n)-1 $ .[/size]
Sono partito come sempre
$ P(1): 2^2-1 =3 $ Vera, in quanto può essere diviso per $ 3 $
Ipotesi Induttiva
$ P(n):2^(2^n)-1 rArr P(n+1):2^(2^(n+1))-1 $ Sia divisibile per almeno ...
Potreste aiutarmi in un esercizio?
Si consideri il gruppo (Q/Z,+)
-Si dimostri che per ogni elemento x appartenente a Q/Z esiste un t appartenente a N* tale che tx = 0 (presumo intenda t+x)
Io procedo così:
Scrivo chi è Q/Z.
Q/Z = {mn^-1/ m=nq+r, per ogni m, n appartenenti a Z, esistono e sono unici q,r appartenenti a z, 0 mn^-1=q+rn^-1 ===> 0= ...
{1,+,-}
dove uno è una base per tutti i numeri dispari
-non 3 e non suoi multipli
- 2 si ma non i suoi multipli
1 genera tutti questi numeri in questo modo:
i numeri da 1 a infinito
e i numeri dispari da 1 a infinito
cioè
{1,1,3,2,5,3,7,4,9,.........}
a quattro a quattro generano tutti i numeri di cui ho parlato sopra in questo modo
1-2-5-7 | 11-13-17-19 |23-25-29-31.................
1-2-5-7 | 12-15-22-26 | 35-40-51-57...........
12-1=11
15-2=13
22--5=17
26-7=19
35-12=23
ecc.
ecc.
ora ...
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