Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Avrei bisogno di aiuto nel provare il seguente fatto.
Sia $P$ un p_gruppo, con $|P|=p^n$ , $p$ numero primo.
Suppongo che $P$$/Z(P)$ sia un gruppo nilpotente con classe di nilpotente $k$ e vorrei provare che la classe di nilpotenza di $P$ è $k+1$.
Il mio tentativo:
Chiamo $Z=Z(P)$.
Per ipotesi so che $P/Z=Z_k(P/Z)$, dove $Z_k(P/Z)$ è l'ultimo termine della serie ...
Dato un gruppo $(G,\cdot)$ e due suoi sottogruppi $(H,\cdot)$ e $(K,\cdot)$ si dimostra che $(HK,\cdot)$ è un sottogruppo se e solo se $HK=KH$; è però possibile che si abbia $HK \ne KH$ e $(HK \cup KH, \cdot)$ sottogruppo di $(G,\cdot)$?
grazie
Sempre dagli appunti.
" I sottogruppi normali servono per fare i quozienti e, in particolare, sono i nuclei degli omomorfismi"
La prima parte oltre a significare che i sottogruppi normali ripartiscono il gruppo in classi e quindi posso pensare al quoziente, cosa vuole dirmi?
La seconda parte invece sta ad indicare che se ho un omomorfismo di gruppi da G in G' allora andrò a ricercare il ker dell'omomorfismo tra i sottogruppi normali di G, giusto?
Esercizio. Dimostrare che tutti e soli i polinomi irriducibili su $ZZ_p[x]$ di grado uguale ad un divisore di $n$ sono fattori irriducibili del polinomio $x^{p^n}-x$.
Lemma. Sia $d|n$ allora $x^{p^d}-x | x^{p^n}-x$.
dim. Poniamo $n=kd$. Basta far vedere (credo) che se $\alpha$ è una radice di $x^{p^d}-x$ allora lo è anche per $x^{p^{kd}}-x$, infatti sia $K$ il campo di spezzamento di $x^{p^d}-x$, basta ...
Ciao a tutti,
è da alcuni giorni che sto tentando di risolvere il seguente esercizio di Teoria dei Modelli ma non ne vado fuori. So che è una sezione della matematica abbastanza specifica, ma spero che qualcuno riesca ad aiutarmi.
La richiesta è la seguente:
Sia $K$ un campo. Lavorare nel linguaggio $L={+,-,0}\cup{f_k : k\in K}$ dove ogni $f_k$ è un simbolo di funzione unaria.
Mostrare che la teoria $T_\infty$ dei $K$-spazi vettoriali infiniti è ...
Sia:
$M={( ( a , -b ),( b , a ) )$ a coefficienti reali, invertibili $}$
mostrare che $M$ è isomorfo a $CC$
Ora, si vede facilmente che $AA A in M, A=aI+bJ$ dove $I=identità, J=( ( 0 , -1 ),( 1 , 0 ) ) $
L'applicazione:
$f:M->CC$ t.c. $f(aI+bJ)=a+bi$
è un isomorfismo di anelli?
Il problema è che non c'è la matrice $O_2$ in $A$ perché non è invertibile... Se aggiungo lei potrei avere che ho un isomorfismo... però a quel punto c'è una matrice non ...
Buondì
Sto studiando questo teorema:
le classi di equivalenza di un insieme $A$ costituiscono una partizione di $A$
Per 'le classi di equivalenza' si intende l'insieme quoziente di $A$?
Cioè la formulazione: l'insieme quoziente di $A$ è una partizione di $A$ è equivalente?
Buon giorno a tutti,scusate la domanda banale ma ho cercato informazioni e non ho trovato nulla a riguardo.Volevo sapere se era stata trovata una formula che indicasse i quanti numeri sono coprimi rispetto un certo numero $ n $ ,senza ricorrere alla conoscenza dei numeri primi coprimi a $ n $.grazie
Esercizio. Dimostrare che se $\alpha$ è un elemento algebrico di grado dispari $d$ su un campo $F$ allora $F(\alpha)=F(\alpha^2)$.
Dim.(proposta) Consideriamo il caso non banale $d>1$, certamente $\alpha^2 \in F(\alpha)$, dunque $F(\alpha) supe F(\alpha^2) sup F$, ovvero $[F(\alpha^2) : F] \leq d$ e $[F(\alpha^2) : F] | d$, tuttavia se $[F(\alpha^2) : F] <d/2$ si avrebbe che $\alpha$ annulla un polinomio in $F[x]$ di grado minore di $d$, quindi ...
ebbene si sono anche quì ora
ho cominciato a studiare algebra e sto facendo in particolare le relazioni.
Guardando un video sono entrato in crisi esistenziale.
Parlando della transitività(scrivo $delta=$relazione):
sia $deltasubseteqA^2$ una relazione $delta$ definita su $A$
se $a delta b wedge b delta c => adeltac, foralla,b,cinA$ si definisce transitiva(ovviamente).
traduco in breve il problema $A={1,2,3,...,n}$ e $delta_A={(1,1),(2,2),(3,3),...,(n,n)}$
alla relazione si aggiunge ...
Sia $R$ una relazione binaria sull'insieme $A$.
Definizione 1:
Si definisce la chiusura riflessiva e transitiva di $R$ come $\barR=nn_{R\subeS, "S riflessiva", "S transitiva"}S$.
Definizione 2:
Si definisce la chiusura riflessiva e transitiva di $R$ come la (più piccola) relazione definita per induzione mediante le regole:
- $\barR(a,a)$ $AAa\inA$;
- se $R(a,b)$ allora $\barR(a,b)$;
- se $\barR(a,b)$ e $\barR(b,c)$ allora ...
Rileggo gli appunti e trovo questa frase:
"Se N è normale in G allora non è vero che gli elementi di G commutano con i singoli elementi di N ma commutano con l'insieme N"
vuole intendere che gli oggetti di G non commutano con alcuni elementi di N ma con tutti, e quindi con N stesso, in virtù del fatto che essere Normale vuol dire gN=Ng? Giusto?
Buonasera a tutta la fantastica Community!
Dunque, stò affrontando il seguente esercizio e devo dire che mi sta dando particolari problemi. Il testo è il seguente:
[size=150]"[/size] Si consideri la successione data da
$ { ( a_0=1 ),( a_1 = 1 ),( a_n=a_(n-2)+n ):} $
A) Trovare, motivando la risposta, il più piccolo numero $ n_0 in mathbb(N) $ tale che, per ogni $ n >= n_0 $, vale $ a_n >= 2n $.
B) Trovare una formula per $a_n$. [size=150]"[/size]
Per quanto riguarda il punto A) attualmente non lo stò ...
Log x+2= (log x)^2
É in base 10
Salve a tutti!
Mi sono imbattuto su alcuni esercizi di algebra lineare, ed in particolare su questa dimostrazione:
"Ogni funzione lineare f: R^2 → R^3 è iniettiva" .
Ho notato che una funzione lineare di questo tipo non può essere di tipo suriettivo, perché per il teorema della dimensione si avrebbe che la dimensione del nucleo = - 1 (il che è impossibile), inoltre ho provato a impostare la dimostrazione per assurdo (ovvero "Ogni funzione lineare f: R2 → R3 non è iniettiva" ).
Così ...
Lemma: Tutti i cavalli sono dello stesso colore.
Dimostrazione (per induzione):
Caso n=1: in un insieme di un solo cavallo, è ovvio che tutti i cavalli di quell'insieme sono dello stesso colore.
Caso n=k: supponiamo di avere un insieme di k+1 cavalli. Togliamone uno dall'insieme così abbiamo k cavalli. Supponiamo inoltre che questi cavalli siano dello stesso colore. Ora rimettiamo nell'insieme il cavallo che avevamo tolto e togliamo un altro cavallo. Supponiamo che anche in questo nuovo insieme ...
La domanda di calcolo combinatorio/logica elementare è la seguente: in quanti modi, in un predicato a 3 variabili, si possono quantificare tutte e 3 le variabili? (naturalmente ottenendo proposizioni che abbiano significato diverso!)
Io ho ragionato così: i modi di permutare le 3 variabili sono 3!, per ciascuna di queste permutazioni posso disporre i quantificatori in 8 modi. In totale ho 48 configurazioni, che si dividono in due classi:
- quelle con 3 quantificatori uguali
- quelle con 2 ...
Il mio libro riporta il principio di induzione nel seguente modo:
$[p(0)^^AAn[p(n)->p(n+1)]}->AAnp(n)$ $ninN$
1)Adesso mi chiedo perchè nelle dimostrazioni, quando si sceglie l'elemento generico con cui dimostrare il passo induttivo, esso viene scelto uguale a n? In base alla logica matematica non dovrebbe essere diverso.
Io so che per il quantificatore universale vale la seguente regola di inferenza:
$(P(a))/(AAxP(x))$ purchè P(a) sia ricavata da precedenti premesse universali.
Come potete ...
Ciao a tutti!
Sono in difficoltà con questo esercizio di Logica:
Dimostrare che non esiste alcuna formula al prim'ordine che valga esattamente sulle strutture numerabili.
Innanzitutto io ho interpretato quel "vale esattamente" come "vale su tutte e sole" le strutture numerabili. (Vi sembra corretto?) Inoltre mi sembra che convenga usare il Teorema di Compattezza e mostrare che una formula che valga in tutte le strutture numerabili, sia soddisfatta anche da altre strutture.
Ho provato a ...
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