Chiarimento sul concetto di estensione di Galois
Ciao a tutti!
Qualcuno saprebbe per favore chiarirmi le idee sul concetto di estensione di Galois?
La definizione che ho è la seguente: $K/F$ è di Galois se $F=C_K(C_A(F))$, dove $C_A(F)=Gal(K/F)={\alpha \in A: \alpha(a)=a, \forall a \in F}$ è il gruppo di Galois e $A=Aut(K)$.
Dunque il gruppo di Galois è l'insieme degli automorfismi di K che fissano gli elementi di F.
Ma non capisco: cos'è, in sostanza, un'estensione di Galois?
Inoltre, quando si verifica la seguente uguaglianza: $Aut(K)=C_A(F)$ ?
Grazie mille
Qualcuno saprebbe per favore chiarirmi le idee sul concetto di estensione di Galois?
La definizione che ho è la seguente: $K/F$ è di Galois se $F=C_K(C_A(F))$, dove $C_A(F)=Gal(K/F)={\alpha \in A: \alpha(a)=a, \forall a \in F}$ è il gruppo di Galois e $A=Aut(K)$.
Dunque il gruppo di Galois è l'insieme degli automorfismi di K che fissano gli elementi di F.
Ma non capisco: cos'è, in sostanza, un'estensione di Galois?
Inoltre, quando si verifica la seguente uguaglianza: $Aut(K)=C_A(F)$ ?
Grazie mille
Risposte
Ciao
La definizione che dai non mi convince per niente, (la notazione che usi è tutt'altro che standard, ma mi pare comunque che sia sbagliata).
Allora, se tu hai un'estensione algebrica $K|F$, chiami $Aut_F(K)$ l'insieme degli automorfismi di $K$ che ristretti a $F$ sono l'identità. Quando l'estensione è di Galois (non l'abbiamo ancora definita!) allora $Aut_F(K)$ lo si denota $Gal_F(K)$ e lo si chiama "Gruppo di Galois".
L'estensione è detta di Galois se è normale e separabile:
-normale: ogni polinomio irriducibile su $F$ spezza in $K$
-separabile: ogni polinomio irriducibile su $F$ che ha una radice in $K$ ha radici distinte.
Quindi è Galois se ogni polinomio irriducibile in $F$ che ha almeno una radice in $K$ ha esattamente tante radici distinte in $K$ quante il grado del polinomio.
Rispondendo alla tua ultima domanda, se con $Aut(K)$ intendi semplicemente l'insieme di tutti gli automorfismi di $K$, allora si ha uguaglianza solo se l'estensione ha grado 1, cioè se $F=K$.
La definizione che dai non mi convince per niente, (la notazione che usi è tutt'altro che standard, ma mi pare comunque che sia sbagliata).
Allora, se tu hai un'estensione algebrica $K|F$, chiami $Aut_F(K)$ l'insieme degli automorfismi di $K$ che ristretti a $F$ sono l'identità. Quando l'estensione è di Galois (non l'abbiamo ancora definita!) allora $Aut_F(K)$ lo si denota $Gal_F(K)$ e lo si chiama "Gruppo di Galois".
L'estensione è detta di Galois se è normale e separabile:
-normale: ogni polinomio irriducibile su $F$ spezza in $K$
-separabile: ogni polinomio irriducibile su $F$ che ha una radice in $K$ ha radici distinte.
Quindi è Galois se ogni polinomio irriducibile in $F$ che ha almeno una radice in $K$ ha esattamente tante radici distinte in $K$ quante il grado del polinomio.
Rispondendo alla tua ultima domanda, se con $Aut(K)$ intendi semplicemente l'insieme di tutti gli automorfismi di $K$, allora si ha uguaglianza solo se l'estensione ha grado 1, cioè se $F=K$.
Grazie mille ad entrambi per aver risposto!
Questa definizione è effettivamente molto chiara, ti ringrazio!
Vorrei comunque cercare di capire la mia definizione, dal momento che poi ricorre spesso nei miei appunti.
Mi rendo conto che la notazione sia un po' strana (non l'ho trovata infatti in nessun altro testo), ma è quella utilizzata dal mio professore a lezione.
La mia definizione coincide con quella del documento suggeritomi da
Tuttavia continuo a non capirne il senso.
Utilizzando la notazione di questo documento ho che:
$Fix(G)={a \in K : \sigma(a)=a, \forall \sigma \in G}$; $G$ è un sottogruppo di $Aut(K|L)$; $Aut(K|L)={\alpha \in Aut(K) : \alpha(l)=l, \forall l \in L}$.
Ma quindi come sono fatti gli elementi di $Fix(Aut(K|L))$ ? E come si riconduce questo alla definizione di mickey88?
Grazie mille ancora
"mickey88":
L'estensione è detta di Galois se è normale e separabile.
Quindi è Galois se ogni polinomio irriducibile in $ F $ che ha almeno una radice in $ K $ ha esattamente tante radici distinte in $ K $ quante il grado del polinomio.
Questa definizione è effettivamente molto chiara, ti ringrazio!
Vorrei comunque cercare di capire la mia definizione, dal momento che poi ricorre spesso nei miei appunti.
Mi rendo conto che la notazione sia un po' strana (non l'ho trovata infatti in nessun altro testo), ma è quella utilizzata dal mio professore a lezione.
La mia definizione coincide con quella del documento suggeritomi da
"killing_buddha":, ossia: $Fix(Aut(K|L))=L$
Ti interessa leggere la sezione 4.1
Tuttavia continuo a non capirne il senso.
Utilizzando la notazione di questo documento ho che:
$Fix(G)={a \in K : \sigma(a)=a, \forall \sigma \in G}$; $G$ è un sottogruppo di $Aut(K|L)$; $Aut(K|L)={\alpha \in Aut(K) : \alpha(l)=l, \forall l \in L}$.
Ma quindi come sono fatti gli elementi di $Fix(Aut(K|L))$ ? E come si riconduce questo alla definizione di mickey88?
Grazie mille ancora
E' un po' tardi e probabilmente avrai chiarito i tuoi dubbi, in ogni caso non darò una risposta troppo dettagliata.
Sono gli elementi di $K$ che sono tenuti fissi da ogni automorfismo di $K$ che fissa $L$. Per definizione, ogni automorfismo del genere fissa $L$, quindi si ha l'inclusione banale $L \subseteq Fix(Aut(K|L))$, che in generale è stretta, come mostrato negli esempi 4.1-4.3 delle dispense citate prima. Se vale l'uguaglianza allora $K|L$ è di Galois. L'equivalenza di questa definizione con quella che ho dato io è dimostrata nel Teorema 4.1.
Ma quindi come sono fatti gli elementi di $Fix(Aut(K∣L))$ ?
Sono gli elementi di $K$ che sono tenuti fissi da ogni automorfismo di $K$ che fissa $L$. Per definizione, ogni automorfismo del genere fissa $L$, quindi si ha l'inclusione banale $L \subseteq Fix(Aut(K|L))$, che in generale è stretta, come mostrato negli esempi 4.1-4.3 delle dispense citate prima. Se vale l'uguaglianza allora $K|L$ è di Galois. L'equivalenza di questa definizione con quella che ho dato io è dimostrata nel Teorema 4.1.
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