Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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Siano $a,b,c$ tre numeri reali positivi, soddisfacenti la condizione :
$(a+b)(b+c)(c+a)=1$
Determinare il massimo valore che può assumere l'espressione:
$ab+bc+ca$
Non mi sembra superfluo aggiungere che, data la particolare sezione in cui si trova il quesito, devono essere impiegati solo metodi elementari [chi vuole applicare i metodi dell'Analisi, leggi "estremi condizionati ", se la sbrighi per conto suo ! ]
Hint: \(\displaystyle ...
Non so se è un classico, oppure se è già stato proposto qui, in ogni caso mi è venuto in mente oggi:
Una macchinina si trova sulla retta dei numeri reali e in ogni istante la sua velocità è uguale alla sua posizione sulla retta.
Qual è la sua velocità media nel percorrere l'intervallo $[a,b]$?
($0<a\le b$)
Nota: potrebbe essere necessario qualche concetto non elementare... (pochi, e molto facili)
Considerata l'equazione:
\[
\tan x=x
\]
dimostrare che:
[list=a]
[*:13cbp2ny]in ogni intervallo \(\displaystyle\left]-\frac{\pi}{2}+n\pi,+\frac{\pi}{2}+n\pi\right[\) con \(\displaystyle n\in\mathbb{N}_0\) esiste un'unica soluzione \(\displaystyle a_n\) della precedente equazione;[/*:m:13cbp2ny]
[*:13cbp2ny]\(\displaystyle\lim_na_{n+1}-a_n=\pi\).[/*:m:13cbp2ny][/list:o:13cbp2ny]Non saranno accettate soluzioni intuitive, puramente grafiche o comunque non rigorose.Stranamente il punto facile è ...
Sono date nel piano le due rette parallele r ed s a distanza data = $b$ ( vedi fig.). Sulla retta r sono fissati i punti $H,G$
a distanza data $2a$ tra loro. Costruire il triangolo ABC del piano della figura, sapendo che il lato BC appartiene alla retta $s$ ed i punti H e G sono rispettivamente l'ortocentro ed il baricentro del triangolo suddetto.
Nel caso particolare che ( rispetto ad un'assegnata unità di misura u ) risulti ...
Salve ragazzi. Mi chiamo Stefano e frequento il 5° anno di un Istituto Tecnico Commerciale.
Domani ho la terza prova e ho "saputo" le domande che ci saranno.
Oltre ad alcune a scelta multipla, ci saranno queste 2 domande aperte:
1) - Tratta il problema delle scorte e discuti la funzione che lo studia
2) - Descrivi il procedimento per calcolare i massimi e i minimi vincolati di una funzione reale di due variabili reali mediante il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Vi ringrazio!
Il triangolo acutangolo ABC è inscritto nella circonferenza di centro $O$ e raggio $R$ ed è circoscritto alla circonferenza di centro $E$ e raggio $r=4$. Inoltre è noto che: $EO={\sqrt{65}}/8, \bar{BC}=13$
Calcolare le misure degli altri due lati del triangolo.
Navigando per il sito "eulerProject" ho trovato il seguente problema:
{The number 3797 has an interesting property. Being prime itself, it is possible to continuously remove digits from left to right, and remain prime at each stage: 3797, 797, 97, and 7. Similarly we can work from right to left: 3797, 379, 37, and 3.
Find the sum of the only eleven primes that are both truncatable from left to right and right to left.}
Quello che non riesco a capire è come si dimostra (matematicamente) ...
Salve a tutti avrei qualche problemino con degli esercizi di logica, di ragionamento numerico... non riesco a capirne la logica nonostante conosca il risultato. Ve lo propongo:
Primo esercizio: risolvere sapendo che i numeri che finiscono in "più" seguono la stessa logica, quelli in "meno" non la seguono
08 24 64 meno
30 45 60 meno
20 30 100 più
28 42 196 più
il risultato finale è 26 39 169 , ma non riesco a trovare uno schema logico.
Secondo esercizio (un po come quello sopra)
08 10 04 ...
Calcolare il valore della frazione:
\[
x=\frac{1}{\displaystyle1+\frac{1}{\displaystyle1+\frac{1}{\displaystyle1+...}}}
\]
Buon divertimento!
P.S.: Non andate a sbirciare per il web world.
OWN
$k,n\in NN, n>0$
Sia $a_k(n)$ la prima cifra a sinistra del numero $n^k$ scritto in base $10$.
Ad esempio $a_4(2) = 1$ perché $2^4=16$
Sia $A(n)$ l'insieme che contiene tutti i valori assunti da $a_k(n)$ quando $k$ varia nei numeri naturali.
Dimostrare (o smentire?) che:
se $n$ è una potenza di $10$ allora $A(n) = {1}$
altrimenti $A(n) = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}$
Buonasera a tutti.
Mi sono iscritto perché non riesco ad arrivare a capo di un problema, e ho pensato di venire a chiedere aiuto qui
Sono un origamista, lavoro in cui la matematica ha un ruolo fondamentale.
Quando si tratta di applicarla alle pieghe su un foglio di carta, e visualizzare in 3D ciò che ancora non esiste non ci sono particolari difficoltà, ma la faccenda diventa più complessa - per me - quando si tratta di realizzare "modular origami", cioè origami che consistono ...
In una piscina contenente acqua dolce, c'è una barca che galleggia liberamente. Nella barca c'è un uomo e un blocco di ferro (densità = $\rho \approx 8 (kg)/(dm^3)$ ) .
L'uomo prende il blocco e lo butta in piscina. Che cosa fa il livello dell'acqua nella piscina? Aumenta, diminuisce, o rimane invariato?
Tutto ha inizio qualche tempo fa, in una fredda serata invernale.
Me ne stavo lì al calduccio a leggere un buon libro, quando mia sorella (11 anni ancora da compiere) mi scuote con un quesito matematico.
Il problema in sè non è affatto complicato, si tratta di trovare il valore delle incognite A e B tra cui intercorre la seguente relazione:
AB+
AB+
AB=
1AA
Bisogna però tener presente che A e B rappresentano ognuna una cifra.
E qui casca l'asino: un cifra, solo una cifra, non possono ...
Lanciando una moneta si ottiene testa o croce con probabilità uguale.
Io comincio a lanciare una moneta tante volte una dopo l'altra e mi fermo quando mi esce l'$n$-esima testa consecutiva.
Dopo quanti lanci mi fermo, in media?
Non sapevo in che sezione postare, perdonatemi se ho sbagliato
Ho la seguente frazione "infinita": $x=2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/(2/...))))))))))))))))$
Quindi posso scriverla come $x=2/x$, da cui risulta $x=sqrt(2)$, tuttavia andando a provare con sempre più $2$, il risultato che mi dà la calcolatrice è sempre $1$, quindi volevo sapere: è possibile che, quando non tronco la frazione, il suo risultato diventi $sqrt(2)$? Oppure, se sto sbagliando qualcosa, dove?
Nel triangolo ABC i vertici B,C sono fissi mentre il vertice A può muoversi sulla circonferenza data $gamma$, di centro L e raggio $AL=r$. Si determini il luogo descritto dal baricentro G di ABC quando A si muove su $gamma$
[ Se si vuole un'anteprima del luogo avviate l'applet allegata, cliccando sulla figura e poi premendo il pulsante triangolare in basso a sinistra. Premete di nuovo per arrestare l'esecuzione. Sempre che ...funzioni ! ...
Costruire con riga e compasso il triangolo ABC ( vedi fig.) del quale sono noti :
l'angolo $BAC=alpha$, il raggio $OC=R$ della circonferenza $gamma$ circoscritta ad ABC ed infine la distanza $BG=2d$
tra il vertice B ed il baricentro G del triangolo.
Inoltre calcolare la misura di ciascuno del lati del triangolo ABC nell'ipotesi che sia :
$OC=5, sin alpha=4/5, d=1/6 sqrt{130}$
Dopo il problema sul quadrilatero di area massima, vorrei proporre un quesito sul triangolo di area minima.
Precisamente :
si considerino i triangoli dei quali sono noti l'ampiezza $alpha$ dell'angolo $hat{BAC}$ e la misura $h$ dell'altezza AH relativa al lato BC. Senza far ricorso a derivate e simili , determinare, tra i triangoli suddetti, quello di area minima.
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