La funzione \(\displaystyle\tan x\) e la bisettrice dei quadranti positivi

[j18eos]

Considerata l'equazione:
\[
\tan x=x
\]
dimostrare che:
[list=a]
[*:13cbp2ny]in ogni intervallo \(\displaystyle\left]-\frac{\pi}{2}+n\pi,+\frac{\pi}{2}+n\pi\right[\) con \(\displaystyle n\in\mathbb{N}_0\) esiste un'unica soluzione \(\displaystyle a_n\) della precedente equazione;[/*:m:13cbp2ny]
[*:13cbp2ny]\(\displaystyle\lim_na_{n+1}-a_n=\pi\).[/*:m:13cbp2ny][/list:o:13cbp2ny]Non saranno accettate soluzioni intuitive, puramente grafiche o comunque non rigorose.

Stranamente il punto facile è quello (b).

[giammaria2]

Credo che nel punto b tu abbia digitato male: secondo me quel limite vale $pi$. Naturalmente supponendo che si intenda $n->+oo$.

[j18eos]

Supponi bene!

...eh sì; avevo proprio sbagliato un passaggio; comunque gugo82, per tutt'altri motivi ed altrove, aveva già svolto questo esercizio, come mi ha segnalato lui stesso in privato.

[Shocker1]

Ciao, provo io

Sia $f(x) = tan(x) - x$, risolvere l'equazione $tan(x) = x$ equivale a trovare gli zeri della funzione $f(x)$ in ogni intervallo $]-pi/2 + npi, +pi/2 + npi[$ con $n in NN_0$. Ho pensato di dimostrare l'esistenza degli zeri per induzione.

Caso $n = 0$, bisogna trovare gli zeri di $f(x)$ in $]-pi/2, pi/2[$. Per comodità restringiamo l'intervallo a $[-1. + 1]$, in tale intervallo la funzione è continua anche agli estremi, inoltre $f(-1)*f(1) < 0$ e questo permette di applicare il teorema di bolzano secondo cui esiste almeno un $a_0 in [-1, 1] sub ]-pi/2, +pi/2[$ tale che $f(a_0) = 0$. Questo dimostra l'esistenza di $a_0$.
Per provare l'unicità di $a_0$ basta dimostrare che $f(x)$ è crescente(o decrescente) su $]-pi/2, +pi/2[$: $f'(x) = 1 + tan^2(x) - 1 = tan^2(x)$, $f'(x) >= 0$ è sempre verificata negli intervalli $]-pi/2, +pi/2[$, quindi $f(x)$ è crescente su $]-pi/2, pi/2[$. In $x_0 = 0$, $f'(x)$ si annulla ma in questo caso $a_0 = x_0$.

Supponiamo che la tesi sia verificata per $n$ e dimostriamo che vale anche per $n+1$: il ragionamento è identico.
Restringiamo l'intervallo $] -pi/2 + (n+1)pi, pi/2 + (n+1)pi[$ a $[x_1. x_2]$ tale che $f(x_1) * f(x_2) < 0$. Per il teorema di Bolzano esiste un $a_(n+1) in [x_1, x_2] sub ] -pi/2 + (n+1)pi, pi/2 + (n+1)pi[$ tale che $f(a_(n+1)) = 0$. Per dimostrare che tale $a_(n+1)$ è unico bisogna provare che $f(x) $ è crescente in $] -pi/2 + (n+1)pi, pi/2 + (n+1)pi[$: la derivata $f'(x) = tan^2(x)$ è sempre verificata in $] -pi/2 + (n+1)pi, pi/2 + (n+1)pi[$, in $x_0 = (n+1)*pi$ si annulla, ma basta osservare che $f'(x) > 0$ in $]- pi/2 + (n+1)pi, (n+1)pi[$ ed in $](n+1)pi, pi/2 + (n+1)pi[$ e quindi $f(x)$ è strettamente crescente.
Dovrebbe tornare tutto, spero di aver rispettato gli standard e di non aver sbagliato nulla , ho un sonno.
Per il punto b. devo pensarci, ora vado a dormire.

Ciaociao

[j18eos]

Hai sbagliato lo studio della derivata basta correggere e ci sei!

[Shocker1]

Ciao

Sicuro? $D'(tan(x) - x) = 1/(cos^2(x)) - 1 = (sin^2(x) + cos^2(x))/(cos^2(x)) - 1 = tan^2(x) + 1 - 1 = tan^2(x)$, perché è sbagliato?
Per quanto riguarda il punto b) ho una soluzione ma è molto molto intuitiva , devo capire come formalizzare il tutto.

Ciaociao

[j18eos]

Mi ero espresso male; pardon.

[Federico7771]

Per comodità pongo $f(x)=tanx-x$.
Per il punto a. mi basta osservare che tali insiemi sono connessi in $(RR,\epsilon)$ e che in ogni intervallo sia ha $lim_(x->-\pi/2+n\pi)(f(x))$=$-\infty$ e che $lim_(x->\pi/2+n\pi)(f(x))$=$+\infty$. Dato che la funzione in questione è palesemente continua sul suo dominio posso applicare il teorema degli zeri e affermare che esiste almeno una soluzione su ogni intervallo del tipo $(-\pi/2+n\pi, \pi/2+n\pi)$. Dal calcolo della derivata si ottiene che su ogni intervallo la funzione è strettamente monotona e ciò mi assicura l'unicità dello zero: $f'(x)=1/(cosx)^2 -1= (sinx/cosx)^2=(tanx)^2$

P.s.
-Per il b devo pensarci.
-Ho visto che shocker ha usato l'induzione... Io ne ho fatto a meno... Ho sbagliato qualcosa?
-Dove hai preso questo esercizio?

Ciaociao j18eos

[j18eos]

@Federico777 Veramente Shocker non ha usato l'induzione, o se l'ha usata (inutilmente aggiungo) è come non l'avesse usata.

Nel senso che quello che ha dimostrato in \(\displaystyle\left]-\frac{\pi}{2}+n\pi,+\frac{\pi}{2}+n\pi\right[\) non lo usa per dimostrare qualcosa[nota]Non fornisco indizi in pubblico.[/nota] in \(\displaystyle\left]-\frac{\pi}{2}+(n+1)\pi,+\frac{\pi}{2}+(n+1)\pi\right[\).

La fonte, per adesso, non la dico; comunque l'esercizio non è di mia creazione!

[Federico7771]

Giusto. Avevo letto un po distrattamente la sua soluzione. La mia ti sembra valida?

[j18eos]

I latini dicevano excusatio non petita, accusatio manifesta... dove ti senti in dubbio?, che facciamo prima!

[Federico7771]

Volevo solo sapere se era abbastanza rigorosa per i tuoi standard e se la reputi migliorabile. Fine.

[j18eos]

"Federico777":...abbastanza rigorosa per i tuoi standard...

I miei standard per il rigore sono solo 2: corretto e sbagliato!

EDIT: Mi sono accorto che non ti ho scritto che è tutto a posto nei tuoi calcoli\ragionamenti.
Non capisco se è la tesi che sto scrivendo (in inglese ovviamente [come si dice da queste parti]) o è una formula screanzata che ho applicato ieri (per calcolare certe cose che non cito nemmeno) che mi ha fuso in queste ultime 72 ore!

@Shocker Guarda che ho corretto il mio precedente intervento che ti riguardava, e ti ripeto che c'è qualcosina da correggere!

[Federico7771]

"j18eos":[quote="Federico777"]...abbastanza rigorosa per i tuoi standard...

I miei standard per il rigore sono solo 2: corretto e sbagliato!

EDIT: Mi sono accorto che non ti ho scritto che è tutto a posto nei tuoi calcoli\ragionamenti.
[/quote]

Ecco xD ci siamo capiti finalmente. Buon studio per la tesi. A presto

[Shocker1]

"j18eos":
@Shocker Guarda che ho corretto il mio precedente intervento che ti riguardava, e ti ripeto che c'è qualcosina da correggere!

Sìsì, ora dovrebbe andare bene. Comunque, hai ragione... l'induzione è inutile, tendo sempre a complicarmi al vita... provo a snellire la dimostrazione.

ia $f(x) = tan(x) - x$, risolvere l'equazione $tan(x) = x$ equivale a trovare gli zeri della funzione $f(x)$ in ogni intervallo \(\displaystyle\left]-\frac{\pi}{2}+n\pi,+\frac{\pi}{2}+n\pi\right[\) con $n in NN_0$.
Restringiamo l'intervallo $]-pi/2 + npi, +pi/2 + npi[$ a $[x_1, x_2]$ tale che $f(x_1) * f(x_2) < 0$. Dato che $f(x)$ è continua è possibile applicare il teorema di Bolzano che ci assicura l'esistenza di almeno un punto $a_n in [x_1, x_2]$ tale che $f(a_n) = 0$. Per dimostrare l'unicità di $a_n$ basta provare che $f(x)$ è strettamente crescente in $]-pi/2 + npi, +pi/2 + npi[$, quindi studiamo il segno della derivata prima $f'(x) = tan^2(x)$. $f'(x) > 0$ $AAx in$ \(\displaystyle\left]-\frac{\pi}{2}+n\pi, n\pi\right[\) $uu$ \(\displaystyle\left] n\pi, +\frac{\pi}{2}+n\pi\right[\), in $x_0 = npi$ la derivata si annulla ma questo non è un problema perché abbiamo dimostrato che $f(x)$ è sempre crescente in \(\displaystyle\left]-\frac{\pi}{2}+n\pi, n\pi\right[\) $uu$ \(\displaystyle\left] n\pi, +\frac{\pi}{2}+n\pi\right[\).
Che dici, va meglio?

[j18eos]

@Shocker No, non va meglio Il ragionamento è corretto.

@Federico777 Thank you, your support is important for me!

Note: Se mi scrivete che il punto (a) è vero ad occhio e il punto (b) si risolve con metodi numerici, io vi rispondo che queste sono argomentazioni e non dimostrazioni.

Dato che il punto (a) oramai è dimostrato in due modi quasi diversi, sul punto (b) potete scrivere qualche idea, considerazione, argomentazione (matematicamente valida).

Io domani sono non ci sono, terrò pure spento il cellulare giusto per essere sicuro di non essere reperibile (anche dal forum). Ci sentiamo domenica.

[Shocker1]

"j18eos":No, non va meglio Il ragionamento è corretto.

Peccato, ci tenevo ahahah

Più tardi inserisco qualche considerazione sul punto b).
Giusto un'informazione, per metodi numerici cosa intendi?

Come promesso:

Sappiamo che $a_(n+1) in$ \(\displaystyle\left]-\frac{\pi}{2}+(1+1)\pi,+\frac{\pi}{2}+(n+1)\pi\right[\), $a_n in$ \(\displaystyle\left]-\frac{\pi}{2}+n\pi,+\frac{\pi}{2}+n\pi\right[\), quindi $a_(n+1) > a_n$ $AAn in NN$.
Inoltre $|a_(n+1) - (n+1)pi| < pi/2$ e $|a_n - npi|= |npi - a_n| < pi/2$. Sommando le disuguaglianze si ottiene:
$|a_(n+1) - (n+1)pi| +|npi - a_n| < pi$, per la disuguaglianza triangolare: $|a_(n+1) - (n+1)pi +npi - a_n| <=|a_(n+1) - (n+1)pi| +|npi - a_n| < pi$ e quindi $|a_(n+1) - a_n - pi| < pi$, sono solo considerazioni.
EDIT:
dunque $|a_(n+1) - a_n - pi| < pi AA n in NN_0$, ciò significa che $AA\epsilon > 0$ $EEn_0 in NN$ tale che $AAn in NN$ $n>= n_0 => |a_(n+1) - a_n - pi| < \epsilon$, da cui la tesi. Spero vada bene

Ciaociao

[j18eos]

Sostanzialmente simulazioni al computer!

[j18eos]

@Shocker Le considerazioni sono corrette, ma l'EDIT del tuo spoiler è sbagliato!

Però ti sei avvicinato parecchio alla soluzione del punto (b).

[j18eos]

E tutto tacque. Eppure in quel tacere s'avanzò nuovo inizio, cenno e mutamento. (René Karl Wilhelm Johann Josef Maria Rilke)

[Shocker1]

"j18eos":E tutto tacque. Eppure in quel tacere s'avanzò nuovo inizio, cenno e mutamento. (René Karl Wilhelm Johann Josef Maria Rilke)

Ciao j18eos!

Chiedo scusa per l'assenza, ma ho avuto una settimana scolastica abbastanza pesante

Stamattina ho buttato giù un'altra considerazione ma non penso basti a dimostrare il limite:

Possiamo esprimere $a_n = k_n + npi$, con $k_n in (-pi/2, +pi/2)$
Quindi abbiamo che
$|a_(n+1) - a_n - pi| <= k_(n+1) - k_n < pi$, ora:
1)per $\epsilon >= pi$ la disequazione $|a_(n+1) - a_n - pi| < \epsilon$ è sempre verificata;
2)per $0 < \epsilon < pi$, possiamo scegliere $\epsilon = k_(n+1) - k_n$ in modo tale che la disequazione $|a_(n+1) - a_n - pi| < \epsilon$ sia sempre verificata.
Quindi si ha che $ AA\epsilon > 0 $ $ EEn_0 in NN $ tale che $ AAn in NN $ $ n>= n_0 => |a_(n+1) - a_n - pi| < \epsilon$.
Non mi sembra una cosa corretta, sarà la stanchezza a parlare, ma mi sembra un ragionamento troppo debole(in primis quel $<=$ nella seconda diseguaglianza). Detto questo, vado a dormire, ricordando che sono solo considerazioni.

Edit: ripensandoci mi sembra una considerazione inutile, vabbè la lascio. A stasera/domani.

Ciaociao