Dalla geometria alle diseguaglianze...

[Sk_Anonymous]

Siano $a,b,c$ tre numeri reali positivi, soddisfacenti la condizione :
$(a+b)(b+c)(c+a)=1$
Determinare il massimo valore che può assumere l'espressione:
$ab+bc+ca$
Non mi sembra superfluo aggiungere che, data la particolare sezione in cui si trova il quesito, devono essere impiegati solo metodi elementari [chi vuole applicare i metodi dell'Analisi, leggi "estremi condizionati ", se la sbrighi per conto suo ! ]
Hint: \(\displaystyle \frac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}{n}\ge\sqrt[n]{x_1x_2x_3...x_n} \) ( sempre con $x_i$ reali e positivi)

[adaBTTLS1]

non ho molto tempo in questi giorni. mi era venuta in mente un'idea, e non so se porti a qualcosa di utile.
la butto lì, o per sapere se la strada è utile, o per dare un input ad altre persone ...

$(a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3+3*(a+b)(b+c)(c+a)$

$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2*(ab+bc+ca)$

se $(a+b)(b+c)(c+a)=1$ e pongo $ab+bc+ca =k$ da massimizzare,

$a+b+c=(a^3+b^3+c^3+3)/(a^2+b^2+c^2+2k)$

quindi, apparentemente, il valore k massimizza il quadrato della somma ma minimizza la somma ...

per ora, lascio perdere. ciao.

[milizia96]

Lemma 1: $a/b+b/a >= 2$
Dimostrazione:

${a/b+b/a}/2 >= \sqrt(a/b\cdot b/a) = 1$

Lemma 2: $a+b+c >= 3/2$
Dimostrazione:

sempre usando AM-GM
$1 = root(3)((a+b)(b+c)(c+a)) <={a+b+b+c+c+a}/3 = 2/3 \cdot(a+b+c)$
$a+b+c >= 3/2$

Dopo qualche manipolazione algebrica, si può scrivere
$1 = (a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc = $
$= abc(2+a/b+b/a+b/c+c/b+c/a+a/c)$
L'ultima espressione tra parentesi è maggiore o uguale a $8$ (segue dal lemma 1 applicato tre volte)
Quindi $abc <= 1/8$

Infine
$(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc = 1$
$ab+bc+ca = {1+abc}/{a+b+c} <= {1+1/8}/{3/2}$ (segue dal lemma 2 e da $abc <= 1/8$)
$ab+bc+ca <= 9/8 * 2/3 = 3/4$

Per concludere si nota che, ponendo $a=b=c=1/2$, si ottiene proprio $3/4$

[Sk_Anonymous]

Molto bene, Milizia !
Aggiungo solo una cosa. Il risultato $abc<=1/8$ lo si può avere anche osservando che per AM-GM è:
\(\displaystyle \begin{cases}a+b\ge2\sqrt{ab}\\b+c\ge 2\sqrt{bc}\\c+a \ge 2\sqrt{ca}\end{cases} \)
Moltiplicando le 3 relazioni precedenti si ha:
$1=(a+b)(b+c)(c+a) >=8abc$
da cui appunto : $abc<=1/8$