Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
Ordina per
In evidenza
Informazione: In realtà, si tratta di un risultato di geometria algebrica classica del piano (reale)!
§§§
Sia \(\displaystyle f\in\mathbb{R}[x,y]\) un polinomio a coefficienti reali nelle indeterminate \(\displaystyle x\) e \(\displaystyle y\) e si definisca:
\[
D(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid f(x,y)\neq0\}
\]
ovvero, \(\displaystyle D(f)\) è l'insieme delle coppie di numeri reali in cui non si annulla il polinomio \(\displaystyle f\), o in altre parole è l'insieme dei punti del piano reale ...
Sono possibili più metodi di soluzione e richiedono solo un briciolo di riflessione e le conoscenze geometriche fondamentali. Vieto di usare l'analitica, che ridurrebbe il problema ad applicazione di formule.
Il triangolo $ABC$, rettangolo in $A$, ha $AB=12, AC=9$; su $AB$ prendo $AD=5$ e su $AC$ prendo $AE=3$. Dopo aver completato il rettangolo $ADPE$, calcolare $PH$, distanza di ...
Forse esagero con questi problemi di minimo ma quello che propongo ora mi sembra carino e non eccessivamente difficile. Si consideri il triangolo $ABC$, rettangolo in $A$ e tale che sia $\bar{AB}=6,\bar{BC=10}$ .
Si determini nel piano del triangolo il punto $P$ in modo che sia minima l'espressione :
$5\bar{PA}^2+4\bar{PB}^2+3\bar{PC}^2$
Calcolare tale valore minimo e dare un'interpretazione geometrica al risultato ottenuto.
Chi riesce a risolvere l' equazione:
2+x-(1/2)x*ln{x}=0
Buona fortuna!
Mi chiedo se esiste una dimostrazione sintetica del seguente teorema. Per sintetica intendo non solo di non usare l'analitica ma anche di fare qualcosa di ragionevolmente breve; la dimostrazione che io ho trovato è lunghissima.
$AH$ è sia altezza di $ABC$ che bisettrice di $RhatHS$, essendo $R,S$ su $AB,AC$ rispettivamente. Dimostrare che le rette $AH,BS,CR$ sono concorrenti.
Dopo il massimo ...il minimo . Leggetevi questo:
Due triangoli vengono detti “dello stesso tipo” se sono entrambi acuti, retti, od ottusi.
Sia $n$ un intero positivo, e sia $P$ un poligono regolare di $n$ lati. Ad ogni vertice di $P$ si trova esattamente un piccione. Un cacciatore di passaggio disturba i volatili, che volano via. Quando ritorna, esattamente un piccione si trova su ogni vertice di $P$, non necessariamente nella sua posizione originaria.
Trovare ...
Siano $a,b$ numeri reali positivi. Dimostrare che si ha:
$(a+b)^4<=2^3(a^4+b^4)$
P.S. Chi vuole può anche generalizzare la questione dimostrando che per $n$ intero positivo risulta :
$(a+b)^n<=2^{n-1}(a^n+b^n)$
Si consideri l'espressione ( reale):
$$ \sqrt[3]{\frac{a+1}{2}+\frac{a+3}{6}\sqrt{\frac{4a+3}{3}}} + \sqrt[3]{\frac{a+1}{2}-\frac{a+3}{6}\sqrt{\frac{4a+3}{3}}} $$
con $a> -3/4$
Dimostrare che tale espressione è un intero.
Risolvere l'equazione :
$ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+x}}} +\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+x}}} =x\sqrt2$
Buona fortuna ...
Salve a tutti, so che c'è una discussione che raccoglie tutti questi quesiti ma non saprei come postarla li, vi propongo questo quesito, l'ho risolto a metà e non saprei bene come impostarle la fine, a voi
Quesito 5 nella prova di matematica del 1975-1976
"Dimostrare che il prodotto di tre numeri naturali consecutivi non può mai essere un cubo di un numero naturale"
Facoltativo: "dimostrare che il prodotto di k numeri naturali consecutivi non puó essere la potenza k-esima di un numero ...
Problema:
Determinare, possibilmente senza usare tecniche di Calcolo Infinitesimale, l'ellisse di area minima circoscritta ad un quadrato con lati lunghi \(2k>0\).
Tra tutti i quadrilateri convessi, di dati lati ma di angoli variabili, determinare quello di area massima.
Lark
Sia \(\displaystyle h \) un intero positivo e sia \(\displaystyle a_n \) la successione definita per ricorrenza nel seguente modo :
\(\displaystyle a_0=1 \)
\(\displaystyle a_{n+1}=\begin{cases} \frac{a_n}{2}, & \mbox{se }a_n\mbox{ pari} \\ a_n+h, & \mbox{se }a_n\mbox{ dispari}
\end{cases} \)
Per quali valori di \(\displaystyle h \) esiste \(\displaystyle n>0 \) tale che \(\displaystyle a_n=1 \)?
Qui metto la mia soluzione, che usa l'induzione, su cui ho un forte dubbio:
Chiaramente se ...
Sia $f:[a,b]->R$ funzione due volte derivabile, con $f'(x)$ ed $f''(x)$ continue in $[a,b]$
Posto :
$m=min_{x\in [a,b]}f''(x),M=max_{x \in [a,b]}f''(x)$
dimostrare che è :
\(\displaystyle \frac{m(b^2-a^2)}{2}\le bf'(b)-af'(a)-f(b)+f(a)\le\frac{M(b^2-a^2)}{2} \)
Siano ABC il generico triangolo ed H i suo ortocentro ( vedi fig.). Detti $H_1,H_2,H_3$ i simmetrici di H rispetto alle rette dei lati di ABC, dimostrare che tali simmetrici appartengono alla circonferenza circoscritta ad ABC.
La combriccola scende barcollando dalla giostra e in una piazzetta lì vicino trova un grande mappamondo. I ragazzi cercano i posti che hanno visitato e Carla nota: "Guardate: Roma e Chicago sono praticamente alla stessa latitudine: 42 Nord!"
Aldo: Dunque un aereo che voglia andare da Roma a Chicago con un percorso minimo viaggerà sempre lungo lo stesso parallelo.
Bruno: Non c'entra: il percorso piu breve e un po' sopra e un po' sotto il parallelo 42 Nord.
Carla: Per me volera ...
Un taxi ha da un po' imboccato un lunghissimo tunnel. In fondo alla galleria rettilinea che pare non finire mai, si intravede l'uscita come un piccolo puntino di luce nell'oscurità.
"Ma quando finisce questo dannato tunnel?" esclama preoccupato Alberto che comincia ad avvertire un fastidioso senso di claustrofobia. Benito, più per distrarlo che per convinzione, dice: "Guarda, con l'esposimetro della macchina fotografica misuro come varia la luminosità che ci arriva dall'uscita: direi che in ...
Marco, Matteo, Gioia e Sara hanno trovato un taxi.
Il viaggio inizia e arrivano in vista di un ponte a forma di arco di circonferenza, esattamente 1/4 di circonferenza di raggio R = 100m.
Gioia dice: "Con la velocita che abbiamo ora, anche a motore spento dovremmo avere sufficiente spinta per salire alla sommità del ponte e quindi scendere dall'altra parte".
Marco: "Certo! E in assenza di attrito, la velocità potrebbe essere assai minore".
Sara: "Quanto minore?" "Non dovrebbe essere ...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo