Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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In evidenza
Sia ABC un triangolo rettangolo In $A$, di cui sia $D$ l'incentro. La ( piccola ) sfida è questa :
Sapendo che $\bar{DC}=2\sqrt5, \bar{DB}=2\sqrt{10}$, calcolare le misure dei lati di ABC senza porre incognite ( e quindi senza risolvere equazioni). Buon divertimento...
Il triangolo ABC è inscritto nella circonferenza di centro G e l'altezza relativa al lato BC è AD ( vedi fig.).
La circonferenza di diametro AD taglia i lati AB ed AC nei punti F ed H, rispettivamente.
Dimostrare che le rette $AG , FH$ sono perpendicolari.
Informazione: In realtà, si tratta di un risultato di geometria algebrica classica del piano (reale)!
§§§
Sia \(\displaystyle f\in\mathbb{R}[x,y]\) un polinomio a coefficienti reali nelle indeterminate \(\displaystyle x\) e \(\displaystyle y\) e si definisca:
\[
D(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid f(x,y)\neq0\}
\]
ovvero, \(\displaystyle D(f)\) è l'insieme delle coppie di numeri reali in cui non si annulla il polinomio \(\displaystyle f\), o in altre parole è l'insieme dei punti del piano reale ...
Sono possibili più metodi di soluzione e richiedono solo un briciolo di riflessione e le conoscenze geometriche fondamentali. Vieto di usare l'analitica, che ridurrebbe il problema ad applicazione di formule.
Il triangolo $ABC$, rettangolo in $A$, ha $AB=12, AC=9$; su $AB$ prendo $AD=5$ e su $AC$ prendo $AE=3$. Dopo aver completato il rettangolo $ADPE$, calcolare $PH$, distanza di ...
Forse esagero con questi problemi di minimo ma quello che propongo ora mi sembra carino e non eccessivamente difficile. Si consideri il triangolo $ABC$, rettangolo in $A$ e tale che sia $\bar{AB}=6,\bar{BC=10}$ .
Si determini nel piano del triangolo il punto $P$ in modo che sia minima l'espressione :
$5\bar{PA}^2+4\bar{PB}^2+3\bar{PC}^2$
Calcolare tale valore minimo e dare un'interpretazione geometrica al risultato ottenuto.
Chi riesce a risolvere l' equazione:
2+x-(1/2)x*ln{x}=0
Buona fortuna!
Mi chiedo se esiste una dimostrazione sintetica del seguente teorema. Per sintetica intendo non solo di non usare l'analitica ma anche di fare qualcosa di ragionevolmente breve; la dimostrazione che io ho trovato è lunghissima.
$AH$ è sia altezza di $ABC$ che bisettrice di $RhatHS$, essendo $R,S$ su $AB,AC$ rispettivamente. Dimostrare che le rette $AH,BS,CR$ sono concorrenti.
Dopo il massimo ...il minimo . Leggetevi questo:
Due triangoli vengono detti “dello stesso tipo” se sono entrambi acuti, retti, od ottusi.
Sia $n$ un intero positivo, e sia $P$ un poligono regolare di $n$ lati. Ad ogni vertice di $P$ si trova esattamente un piccione. Un cacciatore di passaggio disturba i volatili, che volano via. Quando ritorna, esattamente un piccione si trova su ogni vertice di $P$, non necessariamente nella sua posizione originaria.
Trovare ...
Siano $a,b$ numeri reali positivi. Dimostrare che si ha:
$(a+b)^4<=2^3(a^4+b^4)$
P.S. Chi vuole può anche generalizzare la questione dimostrando che per $n$ intero positivo risulta :
$(a+b)^n<=2^{n-1}(a^n+b^n)$
Si consideri l'espressione ( reale):
$$ \sqrt[3]{\frac{a+1}{2}+\frac{a+3}{6}\sqrt{\frac{4a+3}{3}}} + \sqrt[3]{\frac{a+1}{2}-\frac{a+3}{6}\sqrt{\frac{4a+3}{3}}} $$
con $a> -3/4$
Dimostrare che tale espressione è un intero.
Risolvere l'equazione :
$ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+x}}} +\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+x}}} =x\sqrt2$
Buona fortuna ...
Salve a tutti, so che c'è una discussione che raccoglie tutti questi quesiti ma non saprei come postarla li, vi propongo questo quesito, l'ho risolto a metà e non saprei bene come impostarle la fine, a voi
Quesito 5 nella prova di matematica del 1975-1976
"Dimostrare che il prodotto di tre numeri naturali consecutivi non può mai essere un cubo di un numero naturale"
Facoltativo: "dimostrare che il prodotto di k numeri naturali consecutivi non puó essere la potenza k-esima di un numero ...
Problema:
Determinare, possibilmente senza usare tecniche di Calcolo Infinitesimale, l'ellisse di area minima circoscritta ad un quadrato con lati lunghi \(2k>0\).
Tra tutti i quadrilateri convessi, di dati lati ma di angoli variabili, determinare quello di area massima.
Lark
Sia \(\displaystyle h \) un intero positivo e sia \(\displaystyle a_n \) la successione definita per ricorrenza nel seguente modo :
\(\displaystyle a_0=1 \)
\(\displaystyle a_{n+1}=\begin{cases} \frac{a_n}{2}, & \mbox{se }a_n\mbox{ pari} \\ a_n+h, & \mbox{se }a_n\mbox{ dispari}
\end{cases} \)
Per quali valori di \(\displaystyle h \) esiste \(\displaystyle n>0 \) tale che \(\displaystyle a_n=1 \)?
Qui metto la mia soluzione, che usa l'induzione, su cui ho un forte dubbio:
Chiaramente se ...
Sia $f:[a,b]->R$ funzione due volte derivabile, con $f'(x)$ ed $f''(x)$ continue in $[a,b]$
Posto :
$m=min_{x\in [a,b]}f''(x),M=max_{x \in [a,b]}f''(x)$
dimostrare che è :
\(\displaystyle \frac{m(b^2-a^2)}{2}\le bf'(b)-af'(a)-f(b)+f(a)\le\frac{M(b^2-a^2)}{2} \)
Siano ABC il generico triangolo ed H i suo ortocentro ( vedi fig.). Detti $H_1,H_2,H_3$ i simmetrici di H rispetto alle rette dei lati di ABC, dimostrare che tali simmetrici appartengono alla circonferenza circoscritta ad ABC.
La combriccola scende barcollando dalla giostra e in una piazzetta lì vicino trova un grande mappamondo. I ragazzi cercano i posti che hanno visitato e Carla nota: "Guardate: Roma e Chicago sono praticamente alla stessa latitudine: 42 Nord!"
Aldo: Dunque un aereo che voglia andare da Roma a Chicago con un percorso minimo viaggerà sempre lungo lo stesso parallelo.
Bruno: Non c'entra: il percorso piu breve e un po' sopra e un po' sotto il parallelo 42 Nord.
Carla: Per me volera ...
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