Relazioni ...particolari

[Sk_Anonymous]

[elianto84]

Poiché la lunghezza di BC è media aritmetica tra la lunghezza di AB e quella di AC, dal teorema della bisettrice sappiamo che BD è lungo quanto la metà di AB e CD è lungo quanto la metà di AC. Poiché la retta AD biseca l'angolo in A sappiamo inoltre che E è punto medio dell'arco minore BC, dunque BE=BC. Per il teorema di Tolomeo sappiamo che il prodotto tra le lunghezze di AE e BC è pari alla somma del prodotto delle lunghezze di AB e CE e del prodotto delle lunghezze di AC e BE. Abbiamo perciò che AE è lungo il doppio di BE. Infine, per calcolare \(\displaystyle AD^2 \) ricorriamo al teorema del coseno applicato al triangolo ABD di cui conosciamo la lunghezza dei dati AB,BD e il coseno dell'angolo in B:

\(\displaystyle AD^2 = AB^2+BD^2-2AB\cdot BD\cdot\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2AB\cdot BC} = \frac{5}{4}AB^2-AB^2\cdot\frac{AB^2+\frac{1}{4}(AB+AC)^2-AC^2}{AB(AB+AC)},\)

\(\displaystyle 4 AD^2 = 5 AB^2 - AB\cdot\frac{5AB^2+2AB\cdot AC-3AC^2}{AB+AC} = AB\cdot\frac{3AB\cdot AC+3AC^2}{AB+AC}=3 AB\cdot AC.\)

[Sk_Anonymous]

@Elianto
Ottima soluzione, al di là delle mie aspettative. Complimenti.