Una frazione... infinita!

[j18eos]

Calcolare il valore della frazione:
\[
x=\frac{1}{\displaystyle1+\frac{1}{\displaystyle1+\frac{1}{\displaystyle1+...}}}
\]

Buon divertimento!

P.S.: Non andate a sbirciare per il web world.

[kobeilprofeta]

noto che $x=1/(1+x)$ da cui $x(x+1)=1$ cioè $x^2+x-1=0$ che ha come soluzioni $x_1=(sqrt(5)-1)/2$ e $x_2=(-sqrt(5)-1)/2$. Logicamente prenderei la prima perche positiva.

[j18eos]

Bravo;

aggiungo che lo stesso trucco (con la stessa soluzione) lo si può applicare per calcolare:
\[
x=1+\sqrt{1+\sqrt{1+...}}
\]
Qualcun* riesce a risolvere lo stesso problema in un'altra maniera?
Metto in spoiler una parolina magica:

successione!

[kobeilprofeta]

$x=1+sqrt(x)$ $sqrt(x)=x-1$

[j18eos]

@kobeilprofeta Mi stavo riferendo sempre a quella frazione continua!

[kobeilprofeta]

"j18eos":@kobeilprofeta Mi stavo riferendo sempre a quella frazione continua!

Ahah certo...

[j18eos]

Se nessuno ci prova col secondo metodo, metto in spoiler lo sketch della dimostrazione.

Si definisce ricorsivamente la successione:
\[
x_0=1\\
\forall n\in\mathbb{N}_0,\,x_{n+1}=\frac{1}{1+x_n}
\]
si dimostra che tale successione è convergente, quindi detto \(\displaystyle x\) il limite si ha che:
\[
x=\lim_nx_{n+1}=\lim_n\frac{1}{1+x_n}=\frac{1}{1+x}
\]
e si conclude.