Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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In evidenza
Buongiorno a tutti
In questo periodo, mi sto preparando al test per entrare alla Scuola Superiore di Catania (in verità, sono già entrato al PoliTO con 73,25/100... ma Catania mi risulterebbe molto più facile da frequentare, a causa di questioni tanto organizzative quanto geografiche)... spulciando le prove degli anni scorsi, mi sono accorto che spesso non rispondono a quelli che sono i programmi di preparazione proposti dalla stessa SSC: per esempio, per alcuni esercizi è richiesta la ...
Salve, mi sono imbattuto in questo problema (il terzo di del 2008/2009 per l'ammissione alla Normale) e non ho idea di dove partire per risolverlo: qualcuno mi sa dare uno spunto?
Dato un intero n e un foglio quadrato costituito da $n^2$ quadrati di lato 1cm, considera un “labirinto” con le seguenti proprietà:
(a) le pareti del labirinto sono costituite da lati dei quadrati e contengono il bordo del foglio;
(b) partendo da qualsiasi punto su una parete del labirinto si può sempre ...
Esercizio (facile):
Sia \(a\in \mathbb{R}\).
Dimostrare che \(a\) è razionale se e solo se tali sono i numeri \(a^{12}\) ed \(a^7\).
Un mio amico mi ha sottoposto il seguente quesito per i test d'ingresso all'università
Completare la seguente sequenza: 10, 4, 3, 11, 15, ...
A) 11
B) 12
C) 13
D) 16
E) 18
Osservare che:
$sum_(k =1)^10 (-1)^kk^2=55$
Provare più in generale che:
$sum_(k =1)^n (-1)^kk^2=(-1)^n(n(n+1))/2 $
A me è riuscito solo per induzione
Siano $a,b$ interi positivi tali che esiste $c in ZZ$ : $c^2+a c+b=0$
Dimostrare che $a^2 +(b-1)^2$ è un numero composto.
Stavo risolvendo questo problema:
Una pulce affetta da una strana malattia effettua salti su
un piano orizzontale in qualunque direzione, ma nel
seguente modo: il primo salto è lungo 1 cm, il secondo 2
cm, il terzo 4 cm, ..., l’n-esimo 2(n-1) cm, etc.
Può la pulce dirigere i propri salti in modo tale da tornare
prima o poi al punto di partenza?
Consideriamo il punto di partenza nell'origine degli assi, sicuramente, dato che il primo salto è di 1 cm mentre gli altri sono tutti numeri pari, ...
13. Il grande teorico dei numeri Valakekontojioo, studiando i numeri interi 1,2,3,4,5, . . . , ha trovato che tra essi potrebbero esistere i numeri cirilli, che godono di queste due proprietà:
• la somma di due numeri cirilli (anche uguali) è un cirillo
• il prodotto di due numeri cirilli (anche uguali) non è un cirillo
Il suo allievo Son Pyooh Foorb studiando con cura questi numeri, ha scoperto quanti
sono i numeri cirilli, e precisamente ha dedotto che il numero dei cirilli è:
A. 3
B. 0
C. ...
Salve, ho risolto questo problema, ma forse dimentico qualcosa?
Dimostrare che per ogni intero \(\ n \geq 1 \) il numero reale:
\(\ \sqrt(4n −1) \) è irrazionale.
Io ho ragionato così:
Supponiamo che \(\ \sqrt(4n −1) \) sia razionale, allora deve essere:
\(\ 4n-1=m^2 \)
Perciò: \(\ 4n=m^2+1 \)
Allora \(\ m^2+1 \) deve essere pari, quindi \(\ m^2 \) è dispari.
Supposto \(\ m= 2k+1 \rightarrow m^2= 4k^2+4k+1≡ 1(mod4) \)
Quindi è: \(\ m^2+1≡2(mod4) \)
Ma, affinchè \(\ 4n-1=m^2 \) sia ...
Ho provato a risolverlo, ma non sono molto convinta, voi cosa fareste?
Sono assegnati tre punti distinti su una circonferenza. Ad
ogni mossa è possibile spostare uno qualsiasi dei tre
punti, facendogli occupare come nuova posizione il punto
medio di uno, a scelta, dei due archi di circonferenza
determinati dagli altri due punti.
(a) Determinare per quali configurazioni iniziali esiste una
successione di mosse che li porta alla fine ad essere i
vertici di un triangolo isoscele con due ...
Salve, recentemente mi sono imbattuto in questo problema:
Determinare la più piccola costante $a$ tale che
$6x^2 + y^2 +a \geq 4xy + y$
per ogni $x$ e $y$ interi. Per tale valore di a determinare le coppie $(x,y)$ di numeri reali per cui si ha uguaglianza.
Avevo provato a disegnare la conica espressa dall'equazione associata, ma è stato poco utile (oltre che abbastanza laborioso), e ora non ho idee. Qualcuno può aiutarmi?
Grazie in anticipo
Salve, vorrei presentare un problema di ammissione alla Normale di Pisa (il sesto del 2009-2010) che non sono riuscito a risolvere (posto tutto il testo, anche se il punto che a me interessa è il c):
Sia $a > 1$ un numero reale assegnato. Per $x > 0$ reale poniamo
$σ(x) =(1-x)/(a+x)$ e $q(x)=σ(σ(x))$:
(a) Dimostrare che $q(x) =(a-1+2x)/(a^2+1+(a-1)x)$
(b) Dimostrare che, posto $s=(sqrt(a^2+2a+5)-a-1)/2$, si ha $ s > 0$ e che, se $0 < x < s$, si ha $x < q(x) < s$
(c) Dimostrare ...
Considerata la curva cubica (piana):
\[
\Gamma\equiv y^2-x^3-x^2=0
\]
dimostrare che:
[list=a]
[*:3rlybnxo]esistono dei polinomi \(\displaystyle p(t)\) e \(\displaystyle q(t)\) tali che i punti di coordinate:
\[
\begin{cases}
x=p(t)\\
y=q(t)
\end{cases}
\]
sono tutti e soli i punti di \(\displaystyle\Gamma\);[/*:m:3rlybnxo]
[*:3rlybnxo]euristicamente, dal punto precedente, dimostrare che la funzione suriettiva:
\[
\varphi:t\in\mathbb{R}\to(p(t),q(t))\in\Gamma
\]
non è ...
Ciao ragazzi, ho trovato un esercizio che non ho idea di come risolvere, se possibile mi farebbe veramente comodo un aiuto.
L'esercizio è un quesito della prova di ammissione alla SSAS dello scorso anno:
Siano $x,y$ numeri reali positivi. Dimostrare che:
$4xy<=x^4+3y^(4/3)$
Grazie in anticipo per eventuali risposte.
Salve, stavo guardando i test della S.Anna ed ho trovato un problema molto simpatico
Il testo è questo:
Si consideri il gioco seguente: su una scacchiera n x n si
mette una moneta nella casella in alto a sinistra e due
giocatori A e B muovono a turno, cominciando da A, la
moneta. Ogni mossa consiste nello spostare la moneta di
una casella, in orizzontale oppure in verticale, evitando di
occupare le caselle già occupate in precedenza (sia da A
che da B). Perde chi non riesce più a muovere ...
Mi sto preparando per il test di settembre della Normale e mi sono imbattuto in questo problema già proposto nel 2008. Non saprei da dove cominciare nè per intuire quale possa essere il percorso più corto, nè per giustificarlo. L'unica cosa che ho notato è che per α>90° il cammino assume forma diversa dato che non è possibile fare A-->punto in C-->B.
Il testo è questo:
Date due lunghezze 0 < r < R e un angolo 0 < α < π, considera nel piano una
circonferenza C di centro O e raggio r e due punti ...
Propongo un problema delle olimpiadi di matematica britanniche:
Una funzione \(\displaystyle f\) e` definita sull'insieme dei numeri interi positivi e soddisfa
\(\displaystyle f(1)=1996\),
e
\(\displaystyle f(1)+f(2)+...+f(n)=n^2\cdot{f(n)}\), per \(\displaystyle n>1\).
Calcolare il valore esatto di \(\displaystyle f(1996)\).
A me viene \(\displaystyle \frac{2}{1997}\)
Salve, guardando un po' il test di attitudine scientifica del 2012-2013, nel quale sono presenti ben 45 domande di logica e matematica (facilissime, alcune neanche lontanamente ai livelli delle olimpiadi di matematica primo livello), ho riscontrato dei quesiti che non mi sono abbastanza chiari. Spero che sia la sezione giusta per chiedere chiarimenti!
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L'insieme dei numeri razionali positivi con quadrato minore o uguale a 10
a. ha massimo e minimo.
b. ha massimo ma ...
Salve, stavo provando a risolvere questo problema:
Assegnata nel piano una unità di misura per le lunghezze ed un punto P, costruire un triangolo equilatero ABC in
modo che P sia interno ad ABC, PA = 2 PB =3 PC = 4
Avevo trovato una soluzione di tipo goniometrico che sfruttava il teorema dei seni, ma mi sembrava troppo lunga e laboriosa. Suggerimenti?
Ciao a tutti,
volevo chiedervi di aiutarmi in un problema che ho trovato di recente. è stato proposto per l'ammissione allo IUSS qualche anno fa.
il testo è questo:
indivuduare la classe di funzioni [tex]\varphi \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] tali che [tex]\varphi(x) \leq x[/tex] per ogni [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] e [tex]\varphi(x + y) \leq \varphi(x) + \varphi(y)[/tex] per ogni coppia $x,y$ in $mathbb{R}$
trovare funzioni che rispettino la consegna ...
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