Scervelliamoci un po'
Spazio dedicato a problemi assegnati a gare matematiche o olimpiadi della matematica, o ancora a prove di ammissione a scuole di eccellenza.
Domande e risposte
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Approximately 1 in 14 men over the age of 50 has prostate cancer. The level of Prostate Specific
Antigen (PSA) is used as a preliminary screening test for prostate cancer.
7% of men with prostate cancer do not have a high level of PSA. These results are known as 'false negatives'.
75% of those men with a high level of PSA do not have cancer. These results are known as 'false positives'.
If a man over 50 has a normal level of PSA, what are the chances that he has prostate cancer?
A 0.7%
B ...
Pierre de Fermat fu un grande matematico francese vissuto nel XVII secolo.
Come tutti sanno è famoso specialmente per un suo teorema che afferma che dati tre numeri $a$, $b$ e $c$, l'equazione $a^n+b^n=c^n$ non ammette soluzioni intere per valori di $n$ maggiori di $2$.
Passo a proporvi un quesito che ha con esso una certa affinità e che è in grado di ingannare anche persone di una certa competenza, che affermerebbero che ...
Ecco dei quesiti in cui ho trovato delle difficoltà. Vorrei chiarirle, e per questo voglio vedere come ve la cavate (non sono difficili).
1)Chi sa trovare altre frazioni del tipo $166/664$ a cui, se si semplificano i sei, rimane il risultato esatto della divisione? Infatti cancellando i 6 si ottiene $1/4$ che è come se avessimo semplificato normalmente.
Si mostri il criterio che ha seguito.
2)Il doppio di $421052631578947368$ si ottiene spostando l'ultima cifra ponendola per ...
[size=80][Il titolo è approssimativo. ][/size]
Ma quanti modi ci sono per avere un'approssimazione del valore di $pi$?
Francamente ci ho pensato su, e ne ho trovati alcuni derivanti da sviluppi in serie di Taylor di funzioni trigonometriche. Un esempio è quello di troncare lo sviluppo in serie di Taylor di $arccos(1/2)$ in un indice prestabilito (per poi moltiplicare il risultato ottenuto per $3$ dato che l'angolo per cui il coseno vale $1/2$ è ...
Trovare tutte le soluzioni del sistema seguente :
$\{(x+y+z=3),(1/x+1/y+1/z=5/{12}),(x^3+y^3+z^3=45):}$
Come da titolo vediamo chi propone il procedimento più bello...
Nel triangolo ABC, isoscele sulla base BC, il baricentro G si è "appollaiato" sulla circonferenza inscritta in ABC.
Calcolare il coseno dell'angolo alla base del triangolo.
N.B.
"appollaiato sulla" = "appartiene alla"
Il problema è per studenti di Scuola Media Superiore, perciò i grossi calibri stiano "boni" fino alle ore 17 di oggi...
Nell'attesa possono ingannare il tempo uscendo a fare due passi oppure preparando una soluzione...
C'è un numero di dieci cifre: la prima cifra indica quanti 0 ci sono nel numero, la seconda indica quanti 1,etc..,
fino all'ultima cifra che indica quanti 9. Qual'è questo numero?
E' facile ma carino ( almeno mi pare così ).
Determinare nella base 10 tutti quei numeri che in base 7 sono espressi dal numero di tre cifre xyz
e in base 9 sono espressi dal numero zxy
E' richiesta una soluzione ragionata, ovvero non alla "guarda come te li indovino "
Per chi non lo sapesse, un numero si dice felice se la somma dei quadrati delle sue cifre ripetuta più volte arriva a fare uno.
Ora, dimostrare in maniera più semplice possibile che tutti i numeri primi nella forma $10^n+3$ e $10^n+9$ sono felici.
Curiosità: ho letto che il numero felice più grande è stato scoperto nel 2005 da Richard Hassler ed è $4847 × 2^(3321063) + 1$.
l'11 Maggio si è svolta alla Bocconi la finale Nazionale dei giochi matematici.
Anche quest'anno mi sono classificato tra i primi 10% della mia sede e quindi ho potuto partecipare.
Ho cercato un pò on-line le soluzioni, per vedere un pò i miei errori, ma da nessuna parte sono stati pubblicati i testi, ho scritto allora sulla pagina facebook del centro Pristem, e mi hanno risposto che i testi e le soluzioni saranno disponibili solo sulla prossima uscita della loro rivista Alice e Bob...
Quindi ...
Piccolo problema di geometria. Dato un tetraedro regolare e 6 triangoli equilateri uguali a una faccia del tetraedro iniziale costruire altri quattro tetraedri uguali a quello e stabilire di che figura si tratta (ciò allude al fatto che potete utilizzare anche il tetraedro regolare iniziale per la costruzione).
Data una scatola contenete $n$ palline bianche e $k$ palline nere - $n>k$ - si estrae casualmente una pallina dopo l'altra.Calcolare la probabilità che dopo $2k$ estrazioni siano state estratte $k$ palline bianche e $k$ palline nere.
Per chi è in ambiente olimpico dovrebbe essere facile, ma è istruttivo per chi lo vede per la prima volta:
$x$ e $y$ sono due numeri positivi la cui somma è fissata ($x+y=k$).
Quando si ha che $x^2 \sqrt(y)$ assume valore massimo?
Da risolvere usando metodi elementari (per intenderci, niente derivate...)
Ciao, girovagando su internet ho trovato questo quesito matematico (in inglese) che non riesco a risolvere in quanto non mi risulta molto chiaro il testo. L'indovinello mi sembra carino, qualcuno può aiutarmi? Questo è il link. Grazie
http://www.optiver.com/amsterdam/career ... Researcher
Questa figura:
[asvg]xmin=0; xmax=2; ymin=0; ymax=2;
noaxes();
fill="red"; stroke="red"; strokewidth=1;
rect([0,0],[1,1]); rect([1,1],[1.5,1.5]); rect([1.5,1.5],[1.75,1.75]); rect([1.75, 1.75],[1.875,1.875]); rect([1.875, 1.875],[1.9375, 1.9375]); rect([1.9375, 1.9375],[1.96875, 1.96875]); rect([1.96875, 1.96875],[1.984375,1.984375]); rect([1.984375, 1.984375],[1.9921875,1.9921875]);
fill="none"; stroke="black"; strokewidth=1;
rect([0,0],[2,2]);
line([0,1],[2,1]); line([1,0], ...
Siano $a$ e $b$ due congetture .
La congettura $a$ risulta essere vera se si assume come vera la congettura $b$ ,
a sua volte la congettura $b$ risulta essere vera assumendo come vera la congettura $a$ .
E' possibile un dimostrare che entrambe siano vere , alla luce di quanto detto sopra ?
(Esiste un teorema in merito , magari lo ha fatto Gödel )
Io procedo cosi :
Se $a$ è vera assumendo ...
Per la gioia di Luca e compagni propongo altri due esercizi (facilissimo il primo, un po' meno il secondo) sulle progressioni aritmetiche. Qui è già stato spiegato cosa sono; aggiungo che, detta $r$ la ragione, si ha $a_2=a_1+r,\ a_3=a_1+2r, \ a_4=a_1+3r, "eccetera"$ e quindi in generale $a_k=a_1+(k-1)r$
Primo esercizio
In una progressione aritmetica di numeri interi ogni $a_k$ è divisibile per $k$ (cioè $a_2$ lo è per 2, $a_3$ lo è per 3, ...
Propongo un esercizio che trovo simpatico ed accessibile fin dai primi anni di secondaria; l'unica cosa che si studia in quarta è spiegata nella nota.
In una progressione aritmetica (*) di numeri interi c'è almeno un termine divisibile per 2 ed almeno uno divisibile per 3; dimostrare che ce n'è almeno uno divisibile per 6.
(*) Una progressione aritmetica è un insieme di infiniti numeri, ottenuti partendo da un numero prefissato ed aggiungendovi ripetutamente uno stesso numero, detto ragione. ...
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